Fórmula Faa di Bruno

La fórmula de Faa di Bruno es una generalización de la fórmula para diferenciar una función compleja en derivadas de órdenes superiores. Debe su nombre al matemático y sacerdote italiano Francesco Faa di Bruno , gracias al cual se hizo famosa (alrededor de 1855), aunque el verdadero descubridor de esta fórmula es Louis Francois Antoni Arbogast , quien más de 50 años antes que Faa di Bruno hizo la primera publicaciones [1] sobre este tema.

Quizás la fórmula más famosa de Faa di Bruno es la siguiente:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{ n))))\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{j=1}^ {n}{\grande (}g^{(j)}(x){\grande)}^{m_{j)),

donde la suma de todas las n - tuplas de enteros no negativos ( m 1 , …, m n ) que satisfacen la restricción

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

A veces, para una mejor memorización, la fórmula se escribe como

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1 }!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x ){\grande)}\cdot \prod_{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!)}}\right)^{m_ {j}},

sin embargo, esto reduce la obviedad de la interpretación combinatoria.

Resumiendo términos con un valor fijo m 1 + m 2 + … + m n = k y notando que m j debe ser igual a cero para j > n − k + 1, podemos llegar a una fórmula algo más simple expresada en términos de los polinomios de Bell B n , k ( x 1 , …, x n − k +1 ):

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum_{k=1}^{n}f ^{(k)}{\grande (}g(x){\grande)}\cdot B_{n,k}{\grande (}g'(x),g''(x),\puntos,g ^{(n-k+1)}(x){\grande)}.

Forma combinatoria

La fórmula tiene la siguiente forma combinatoria:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=(f\circ g)^{(n)}( x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{{\big (}|\pi |{\big ))){\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _ {B\in \pi}g^{{\grande (}|B|{\grande)}}(x),

dónde

π toma valores del conjunto Π de todas las particiones del conjunto { 1,…, n }, B ∈ π significa que la variable B recorre partes de la partición π, | un | denota la cardinalidad del conjunto A (así, |π| es el número de bloques en la partición π, | B | es el tamaño del bloque B ).

Ejemplo

La forma combinatoria de la fórmula puede parecer inicialmente complicada, así que consideremos un caso específico:

{\begin{alineado}(f\circ g)''''(x)&=f''''{\big (}g(x){\big )}g'(x)^{ 4}+6f'''{\grande (}g(x){\grande)}g''(x)g'(x)^{2}+{}\\&+3f''{\grande ( }g(x){\grande )}g''(x)^{2}+4f''{\grande (}g(x){\grande )}g'''(x)g'(x) +{}\\&+f'{\grande (}g(x){\grande)}g''''(x).\end{alineado))

Todas las acciones se realizan de acuerdo con el siguiente patrón:

{\begin{alignedat}{4}g'(x)^{4}&\leftrightarrow {}&1+1+1+1&\leftrightarrow {}&f'''{\big (}g(x) ){\big )}&\leftrightarrow {}&1,\\g''(x)g'(x)^{2}&\leftrightarrow &2+1+1&\leftrightarrow &f'''{\big (}g (x){\big )}&\leftrightarrow &6,\\g''(x)^{2}&\leftrightarrow &2+2&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )} &\leftrightarrow &3,\\g'''(x)g'(x)&\leftrightarrow &3+1&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &4,\ \g''''(x)&\leftrightarrow &4&\leftrightarrow &f'{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &1.\end{alignedat))

El factor obviamente corresponde a la partición 2 + 1 + 1 de 4 (el orden de la derivada). Su factor muestra que hay 3 términos en esta partición. Finalmente, el coeficiente 6 significa que hay exactamente 6 particiones de un conjunto de 4 elementos, en el que una parte contiene dos elementos y dos partes contienen uno. $g''(x)g'(x)^{2}$ ${\displaystyle f'''{\grande (}g(x){\grande)))$

Por analogía, el factor de la tercera línea corresponde a la partición 2 + 2 del número 4, e indica que esta partición debe tener 2 términos. Un factor de 3 dice que solo hay una forma de dividir 4 elementos en grupos de tamaño 2. ${\ estilo de visualización g''(x)^{2}}$ ${\displaystyle f''{\grande (}g(x){\grande)))$ ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$

Los términos restantes de la fórmula se interpretan de manera similar.

Interpretación combinatoria de coeficientes

Los coeficientes de la fórmula Faa di Bruno se pueden expresar en forma cerrada. El número de particiones de un conjunto de tamaño n correspondientes a una partición del número n :

n=\soporte {1+\cdots +1} _{m_{1}}+\soporte {2+\cdots +2} _{m_{2}}+\soporte {3+\cdots +3 } _{m_{3}}+\cdots

es igual

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_ {2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Estos coeficientes también aparecen en los polinomios de Bell , que son relevantes para el estudio de cumulantes .

Notas

↑ Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (neopr.) . — Estrasburgo: Levrault, 1800.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Faa di Bruno's Formula (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Notas de clase sobre la fórmula Faa di Bruno con ejemplos .
V. A. Kudryavtsev. Fórmula general para la n-ésima derivada del grado de alguna función // Educación Matemática . - M. - L .: ONTI , 1934. - Emisión. 1 . - S. 24-27 .