Fórmula de probabilidad total

La fórmula de probabilidad total le permite calcular la probabilidad de un evento de interés a través de las probabilidades condicionales de este evento, asumiendo ciertas hipótesis, así como las probabilidades de estas hipótesis.

Redacción

Sea dado un espacio de probabilidad y un grupo completo de eventos incompatibles por pares tal que $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{B_i\}_{i=1}^{n} \subconjunto \mathcal{F}$

$\para todos yo \; \mathbb{P}\; (B_i) > 0;$
$\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnada;$
$\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$

Sea el evento de nuestro interés. Entonces obtenemos: $A\in {\mathcal {F}}$

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)

.

Nota

La fórmula de probabilidad total también tiene la siguiente interpretación. Sea una variable aleatoria con distribución $norte$

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)

.

Después

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]

,

aquellos. la probabilidad previa de un evento es igual al promedio de su probabilidad posterior .

Véase también