Fórmulas para la multiplicación abreviada de polinomios

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Las fórmulas abreviadas de multiplicación de polinomios son casos comunes de multiplicación de polinomios . Muchos de estos son casos especiales del binomio de Newton . Se estudian en la escuela secundaria en el curso de álgebra .

Fórmulas para cuadrados

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Diferencia de dos cuadrados

Cada diferencia de dos cuadrados se puede representar como un producto mediante la fórmula

{\ estilo de visualización a^{2}-b^{2}=(ab)(a+b)}

Prueba

La demostración matemática de la ley es compleja. Aplicando la ley de distribución al lado derecho de la fórmula, obtenemos:

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2))

Debido a la conmutatividad de la multiplicación, los términos medios se destruyen:

baab=0

y permanece

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2))

La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre muchas aplicaciones, proporciona una prueba simple de la desigualdad de la media aritmética, la media geométrica y la media armónica de dos variables.

La demostración es válida en cualquier anillo conmutativo .

Por el contrario, si esta identidad se cumple en el anillo R para todos los pares de elementos ayb , entonces R es conmutativo. Para verificar esto, aplicamos la ley de distribución al lado derecho de la ecuación y obtenemos:

{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2))

Para que esto sea igual , debemos tener ${\ estilo de visualización a^{2}-b^{2}}$

baab=0

para todos los pares a , b , entonces R es conmutativa.

Fórmulas de cubo

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^ {2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Fórmulas para el cuarto grado

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
${\ estilo de visualización a^{4}-b^{4}=(ab)(a+b)(a^{2}+b^{2})}$ (derivado de ) $a^{2}-b^{2}$
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2} }ab+b^{2})$

Fórmulas para el grado n

$a^{n}-b^{n}=(ab)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+. ..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2} -...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , dónde $n\en N$
${\ estilo de visualización a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{ 2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , dónde $n\en N$

En números complejos

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2} }b\derecha)\izquierda(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\derecha)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(ab)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+ i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i }{\sqrt {2}}}b\derecho)$