Conmutatividad

Conmutatividad , ley conmutativa ( Latín tardío commutativus - cambiando) - una propiedad de la operación binaria " ", que consiste en la posibilidad de reorganizar argumentos: $\circ$

x\circ y=y\circ x

para cualquier elemento .

x,\;y

En particular, si la operación de grupo es conmutativa, se dice que el grupo es abeliano . Si la operación de multiplicación en un anillo es conmutativa, se dice que el anillo es conmutativo.

El término "conmutatividad" fue introducido en 1815 por el matemático francés François Joseph Servois .

Ejemplos:

suma y producto de números reales son conmutativos: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
la conjunción y la disyunción son conmutativas: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
unión , intersección y diferencia de conjuntos simétricos son conmutativos: $A \taza B = B \taza A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

Muchas operaciones binarias son asociativas , pero generalmente no conmutativas, como, por ejemplo, la multiplicación de matrices :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, pero

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} = \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

y concatenación de cadenas :

"a" + "b" = "ab", pero "b" + "a" = "ba".

Además, no toda operación conmutativa es asociativa (hay magmas conmutativos con una operación no asociativa).

Hay una serie de generalizaciones del concepto de conmutatividad para operaciones con más de dos argumentos (diversas variantes de simetría).

Las operaciones conmutativas forman una capa extensa de estructuras algebraicas , que tienen muchas propiedades "buenas" que no son inherentes a las estructuras no conmutativas (por ejemplo, grupos conmutativos en comparación con los no abelianos ), en muchas ramas de las matemáticas, la técnica de la reducción de problemas a estructuras conmutativas se utiliza como a propiedades más estudiadas y más convenientes. El álgebra conmutativa es una dirección algebraica general que estudia las propiedades de los anillos conmutativos y los objetos conmutativos relacionados ( módulos , ideales , divisores , campos ).

Enlaces

Conmutatividad // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
Conmutatividad - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . D. M. Smirnov