Frobenius forma normal

En álgebra lineal , la forma normal de Frobenius de un operador lineal A es la forma canónica de su matriz, correspondiente a la descomposición mínima de un espacio lineal en una suma directa de subespacios invariantes bajo A, que se puede obtener como un tramo lineal de algunos vector y sus imágenes bajo la acción de A. Será una matriz de bloque-diagonal formada por células de Frobenius de la especie

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

Tal matriz se llama polinomio acompañante . $x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0}$

Enunciado del teorema

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k , A sea un operador lineal sobre este espacio. Entonces hay una base V tal que la matriz A en esta base es bloque-diagonal , sus bloques son matrices acompañantes para polinomios unitarios tal que es divisible por . Los polinomios están definidos de forma única. $f_{i}$ $f_{{yo+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Prueba

Un operador lineal sobre un espacio vectorial hace que ese espacio sea un módulo sobre un anillo polinomial k [ x ] (multiplicar por x corresponde a aplicar un operador lineal). Un anillo polinomial es euclidiano , por lo tanto, un dominio ideal principal , por lo que podemos aplicar el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre anillos ideales principales . Es decir, usamos la descomposición del espacio en una suma directa de factores invariantes. Un factor individual es de la forma k[x]/f(x) , sea n el grado de f . Elegimos una base en este subespacio como las imágenes de los polinomios 1, x, x 2 ... x n-1 en el mapeo de factorización, es fácil ver que la matriz del operador “multiplicar por x” en esta base coincide con la matriz acompañante del polinomio f(x) . Eligiendo bases de este tipo en cada factor, obtenemos una matriz del tipo requerido. La invariancia de los polinomios se deriva de la invariancia de los factores en el teorema de la estructura. $f_{i}$

Ejemplos

Un ejemplo de una posición general.

Si todos los valores propios de una matriz son diferentes, entonces su forma normal de Frobenius será una matriz que constará exactamente de un bloque:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

y los números son los coeficientes del polinomio característico. $ai}}$

Los bloques múltiples solo pueden ocurrir si los valores propios de la matriz son los mismos.

ejemplo extremo.

Considere una matriz escalar, es decir, una matriz diagonal tal que todos los números en la diagonal son iguales al mismo número . Para tal matriz, su forma normal de Frobenius será ella misma. Es decir, cada valor de la diagonal es un subbloque de Frobenius de 1 por 1. Y todos los polinomios son iguales entre sí e iguales a . Tenga en cuenta que cuando se conjuga con cualquier matriz, una matriz escalar sigue siendo ella misma, es decir, la conjugación, en principio, no puede cambiar su forma, lo que corresponde al hecho de que ella misma es su forma normal de Frobenius. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

Para una matriz de 2 por 2 que es una celda de Jordan:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix))$ su forma normal de Frobenius es la matriz: . Es decir, un bloque de 2 por 2. En particular, es fácil ver que las trazas y los determinantes de estas matrices son los mismos. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

Para una matriz de 3 por 3 que es una celda de Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix))

su forma normal de Frobenius es la matriz:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Estos ejemplos muestran que la coincidencia de valores propios no es una condición suficiente para la aparición de varios bloques. (Aunque es necesario, como se señaló anteriormente).

Estos ejemplos se generalizan al caso de matrices de tamaño arbitrario: para una celda de Jordan de tamaño completo, su forma normal de Frobenius tiene un bloque y la última columna está dada por los coeficientes del polinomio tomados con un signo menos. (Este polinomio es característico y mínimo para esta matriz). ${\ estilo de visualización (x-\ lambda) ^ {n})$

Una matriz que tiene una forma normal de Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(para ).

{\ estilo de visualización \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2}}

tiene una forma normal de Frobenius que consta de un solo bloque de 3 por 3:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _ {2}\\0&1&2\lambda _ {1}+\lambda _ {1}\end{pmatriz}}

El polinomio es , es un polinomio característico y mínimo. ${\ Displaystyle f_ {1}}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Ejemplos con dos bloques.

Considere una matriz que tiene una forma normal de Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(para ).

{\ estilo de visualización \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2}}

su forma normal de Frobenius es una matriz que consta de dos subbloques, el primero de 1 por 1 y el segundo de 2 por 2:

{\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&0\\0&0&-\lambda_{1}\lambda_{2}\\0&1&(\lambda_{1}+\lambda_{2}) \end{matrix}}

Los polinomios están dados por fórmulas , y es fácil ver eso (es decir, un polinomio divide a un polinomio ). Un polinomio es un polinomio mínimo. ${\ Displaystyle f_ {yo}}$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ ${\ estilo de visualización f_{1}|f_{2}}$ ${\ Displaystyle f_ {1}}$ ${\ Displaystyle f_ {2}}$ $f_{2}$

Una matriz que tiene una forma normal de Jordan:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

su forma normal de Frobenius es una matriz que consta de dos subbloques, el primero de 1 por 1 y el segundo de 2 por 2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

Los polinomios están dados por fórmulas y es fácil ver eso (es decir, un polinomio divide a un polinomio ). Un polinomio es un polinomio mínimo. ${\ Displaystyle f_ {yo}}$ $f_{1}=(x-\lambda)$ $f_{2}=(x-\lambda)^{2}$ ${\ estilo de visualización f_{1}|f_{2}}$ ${\ Displaystyle f_ {1}}$ ${\ Displaystyle f_ {2}}$ $f_{2}$

Ejemplos adicionales. Si una matriz es nilpotente, entonces sus formas normales de Jordan y Frobenius coinciden (hasta la transposición). En efecto, los valores propios de la matriz nilpotente son iguales a cero, al igual que los coeficientes del polinomio característico, es decir, los elementos no triviales de ambas formas desaparecen, y las unidades, salvo transposición, se ubican en ambas formas en de la misma manera

Propiedades

El mayor de los polinomios coincide con el polinomio mínimo de la matriz. El producto de todos los polinomios es igual al polinomio característico de la matriz. Los tamaños de los bloques en la forma normal de Frobenius son los mismos que las potencias de los polinomios . La propiedad implica obviamente una coincidencia idéntica de polinomios si tienen el mismo grado. Por lo tanto, si los bloques en la forma normal de Frobenius tienen el mismo tamaño, entonces coinciden de forma idéntica. ${\ Displaystyle f_ {yo}}$ ${\ Displaystyle f_ {yo}}$ ${\ estilo de visualización f_{i}|f_{i+1}}$ $f_{i},f_{i+1}$

Literatura

Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - 5ª ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M. V., Tolkachev M. M., Tyshkevich R. I., Fedenko A. S. Ch . 83. — 269 pág.
David S. Dummit y Richard M. Foote. Álgebra abstracta. 2ª edición, John Wiley & Sons. páginas. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .