Polinomio

Un polinomio (o polinomio del griego πολυ- “muchos” + nomen latino “nombre”) de variables es la suma de monomios o, estrictamente, una suma formal finita de la forma $norte$ ${\ estilo de visualización x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, dónde

$I=(i_{1},i_{2},\puntos,i_{n})$ - un conjunto de enteros no negativos , llamado índice múltiple , $norte$
$c_{yo}$ - un número llamado coeficiente del polinomio , que depende únicamente del multiíndice . ${\matemáticas {yo}}$

En particular, un polinomio en una variable es una suma formal finita de la forma

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\puntos +c_{m}x^{m))

, dónde

$c_{yo}$ — coeficientes fijos ,
$X$ -variable . _

Con la ayuda de un polinomio, se introducen los conceptos de " ecuación algebraica ", " función algebraica " y " número algebraico ".

Estudio y aplicación

El estudio de las ecuaciones polinómicas y sus soluciones durante mucho tiempo fue quizás el objeto principal del " álgebra clásica ".

Varias transformaciones en matemáticas están asociadas con el estudio de polinomios : la introducción de cero , negativos y luego números complejos , así como el surgimiento de la teoría de grupos como una rama de las matemáticas y la separación de clases de funciones especiales en el análisis matemático. .

Debido al hecho de que los cálculos que involucran polinomios son simples en comparación con clases de funciones más complejas, y al hecho de que el conjunto de polinomios es denso en el espacio de funciones continuas en subconjuntos compactos del espacio euclidiano (ver el teorema de aproximación de Weierstrass ), los métodos de expansión en Interpolación de series y polinomios en cálculo .

Los polinomios también juegan un papel clave en la geometría algebraica . Su objeto principal son los conjuntos, definidos como soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas .

Las propiedades especiales de los coeficientes de transformación en la multiplicación de polinomios se utilizan en geometría algebraica , álgebra , teoría de nudos y otras ramas de las matemáticas para codificar o expresar propiedades de varios objetos mediante polinomios.

Definiciones relacionadas

Un polinomio de vista se llama monomio o monomio de índice múltiple . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\puntos,\,i_{n})$
Un monomio correspondiente a un índice múltiple se llama miembro libre . $I=(0,\puntos,\,0)$
La potencia total de un monomio (diferente de cero) se llama un número entero . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\puntos +i_{n}$
El conjunto de índices múltiples , para los cuales los coeficientes son distintos de cero, se denomina portador del polinomio , y su envolvente convexa se denomina poliedro de Newton . ${\matemáticas {yo}}$ $c_{yo}$
El grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios. Se supone que el grado del cero idéntico es indefinido o se define además por el valoro(ver el grado del polinomio cero ). [una] $-una$ $-\infty$
Un polinomio que es la suma de dos monomios se llama binomio o binomio ,
Un polinomio que es la suma de tres monomios se llama trinomio o trinomio .
Los coeficientes de un polinomio generalmente se toman de un anillo conmutativo particular (más a menudo un campo , como el campo de números reales o complejos ). En este caso, con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, los polinomios forman un anillo (además, un álgebra asociativa-conmutativa sobre un anillo sin divisores de cero ) que se denota por . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\puntos,x_n]$
Para un polinomio en una variable, la solución a la ecuación se llama su raíz . $p(x)$ $p(x)=0$

Funciones polinómicas

Sea un álgebra sobre un anillo Un polinomio arbitrario define una función polinomial $A$ $r$ $p(x)\en R[x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}]$

p_{R}\dos puntos A\a A.

El caso más considerado ${\ estilo de visualización A = R.}$

Si es un campo de números reales o complejos (o cualquier otro campo con un número infinito de elementos ), la función determina completamente el polinomio p . Sin embargo, esto no es cierto en el caso general, por ejemplo: los polinomios y de definen funciones idénticamente iguales . $R$ $f_{p}\dos puntos R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\equiv x$ $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ $\mathbb{Z} _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2} \to \mathbb{Z } _{2}$

Una función polinomial de una variable real se llama función racional entera .

Tipos de polinomios

Un polinomio en una variable se llama unitario , normalizado o reducido si su coeficiente principal es igual a uno.
Un polinomio cuyos monomios tienen todos el mismo grado completo se llama homogéneo .
- Por ejemplo , un polinomio homogéneo de dos variables, pero no homogéneo. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Un polinomio que se puede representar como un producto de polinomios de menor grado con coeficientes de un campo dado se llama reducible (sobre el campo dado), de lo contrario se llama irreducible .

Propiedades

Un anillo polinomial sobre un dominio de integridad arbitrario es en sí mismo un dominio de integridad.
Un anillo polinomial en cualquier número finito de variables sobre cualquier anillo factorial es en sí mismo factorial.
El anillo de polinomios en una variable sobre el campo es el anillo de ideales principales , es decir, cualquiera de sus ideales puede ser generado por un elemento.
- Además, un anillo polinomial en una variable sobre un campo es un anillo euclidiano .
El teorema de la raíz racional .

Divisibilidad

El papel de los polinomios irreducibles en el anillo de polinomios es similar al papel de los números primos en el anillo de los enteros . Por ejemplo, el teorema es verdadero: si el producto de polinomios es divisible por un polinomio irreducible , entonces p o q son divisibles por . Cada polinomio de grado mayor que cero se descompone en un campo dado en un producto de factores irreducibles de forma única (hasta factores de grado cero). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

Por ejemplo, un polinomio que es irreducible en el campo de los números racionales se puede factorizar en tres factores en el campo de los números reales y en cuatro factores en el campo de los números complejos. $x^{4}-2$

En general, cada polinomio en una variable se descompone en el campo de los números reales en factores de primer y segundo grado, en el campo de los números complejos, en factores de primer grado ( el teorema fundamental del álgebra ). $X$

Para dos o más variables, esto ya no se puede afirmar. Sobre cualquier campo, para cualquier , hay polinomios en variables que son irreducibles en cualquier extensión de este campo. Tales polinomios se llaman absolutamente irreducibles. $n>2$ $norte$

Variaciones y generalizaciones

Si también se permiten potencias negativas en la definición, el objeto resultante se denomina polinomio de Laurent .
cuasi-polinomio
polinomio trigonométrico
Serie de potencia

Véase también

Literatura

Vinberg E. B. Álgebra de polinomios. - M. : Educación, 1980. - 176 p.
Kurosh A. G. Curso de Álgebra Superior, 9ª ed. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Álgebra superior, 2ª ed. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Libro de práctica de álgebra. - M. : Educación, 1985. - 127 p.
Polinomios VV de Prasolov . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Colección de problemas de álgebra superior. - M. , 1977.

Notas

↑ Eric W. Weisstein. Polinomio cero . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 28 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 1 de mayo de 2021.

Enlaces

Polinomio / A. I. Markushevich // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.

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