Función de Zhukovsky

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La función Zhukovsky es un mapeo conforme que se utiliza para describir algunos de los principios asociados con los perfiles de las alas de los aviones . Nombrado en honor a N. E. Zhukovsky debido a las aplicaciones que le dio a esta función en aerodinámica [1] . Se refiere a las funciones elementales clásicas del análisis complejo , ya que la mayoría de las funciones trigonométricas e hiperbólicas se pueden representar como una superposición del exponente y la función de Zhukovsky [2] .

Definición

La función Zhukovsky se define como una transformación del plano complejo según la fórmula [1] $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).

Además, la función de Zhukovsky se puede definir como una composición de una función fraccional-racional y cuadrática [3] :

f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),

dónde

S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1)),\;S_{2}(z)=z^{2}.

Propiedades

$f(z)=f\left({\frac {1}{z))\right)$ [1] .
La inversa de la función de Zhukovsky es la función [4] . $g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1))$
$f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ diferente de cero en . Por lo tanto, el mapeo es conforme en todas partes excepto en estos puntos [5] . $z\neq\pm 1$ $f(z)$
La función Zhukovsky realiza las siguientes asignaciones conformes [2] :

círculo en todo el plano complejo con un corte a lo largo de un segmento del eje real. $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ $(-1.1)$
un círculo con cortes a lo largo de los segmentos y , donde en todo el plano complejo con un corte a lo largo del segmento . $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ ${\ estilo de visualización (b, 1)}$ ${\ estilo de visualización (-1, -a)}$ ${\ estilo de visualización 0 <a, b <1}$ $\left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{ \frac{1}{b}}\derecho)\derecho)$
el semiplano superior a todo el plano complejo con un corte a lo largo de los rayos y en el eje real. $(-\infty,-1)$ $(1,+\infty)$
semicírculo al semiplano inferior. $\left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace$
un círculo que pasa por el punto y contiene el punto en una curva cerrada, similar al perfil del ala de un avión y llamado perfil de Zhukovsky-Chaplygin. Al variar el radio y la posición del centro del círculo, puede cambiar el ángulo de curvatura y el grosor del ala [6] . $una$ $-una$

Transformación de Karman-Trefftz

Una generalización de la función de Zhukovsky es la transformación de Karman-Trefftz, que relaciona la variable original con la igualdad transformada . $z$ $\zeta$

{\frac {\zeta -k}{\zeta +k))={\frac {(z-1)^{k)){(z+1)^{k))},

donde _ Cuando resulta [7] . ${\ estilo de visualización k <2}$ $k=2$ ${\ estilo de visualización \ zeta = 2f (z)}$

Notas

↑ 1 2 3 Markushevich, 1957 , p. 76.
↑ 1 2 Evgrafov, 1991 , pág. 190.
↑ Markushevich, 1957 , pág. 80.
↑ Evgrafov, 1991 , pág. 188.
↑ Markushevich, 1957 , pág. 79.
↑ Markushevich, 1957 , pág. 327-328.
↑ Milne-Thomson, 1973 , págs. 129.

Literatura

Evgrafov, M. A. Funciones analíticas. - 3ª ed., revisada. y adicional —M.:Nauka, 1991. — 448 p. —ISBN 5-02-014200-X.
Markushevich, AI Un curso breve sobre la teoría de las funciones analíticas. -M.:Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1957.
Milne-Thomson, L.M. Aerodinámica teórica . — 4ª ed. — Nueva York: Publicaciones de Dover , 1973. — ISBN 0-486-61980-X .