Función Rademacher

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La función de Rademacher es una función periódica constante por partes que toma solo dos valores 1 y −1 en todo el dominio de definición. Introducido por Hans Rademacher en 1922 [1] . La gráfica de la función es un meandro .

La función de Rademacher se puede expresar de la siguiente manera:

\operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {signo} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)

El sistema de funciones de Rademacher es ortonormal en el espacio $L^{2}[0,1]$ porque:

\int_{0}^{1}\operatorname {rad}_{n}(x)\cdot \operatorname {rad}_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta_{ Minnesota}

¿ Dónde está el símbolo de Kronecker ? $\delta _{{mn}}$

El sistema de funciones de Rademacher es incompleto. Con base en ellos, puede construir las funciones de Walsh :

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {wal} _ {\ nu} (x) = \ nombre del operador {rad} _ {\ nombre del operador {lb} \ nu } (x)}

donde es el logaritmo binario . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {lb} \ nu = \ log _ {2} \ nu}$

La función Rademacher se puede especificar a través de la función Haar : $\psi(x)$

\operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)

Notas

↑ H. Rademacher. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (alemán) // Matemáticas. Ann.. - 1922. - Bd. 87 , núm. 1-2 . — S. 112–138 . (enlace no disponible)

Enlaces

Onda cuadrada en WolframMathWorld
Sistema Rademacher - Artículo de la enciclopedia de las matemáticas