Número de Fermat

Los números de Fermat son números de la forma , donde (secuencia A000215 en OEIS ). $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $n\geqslant 0$

Porque , los números de Fermat son simples e iguales a . Hasta el momento, no se han descubierto otros números primos de Fermat y no se sabe si existen para n > 4 o si todos los demás números de Fermat son compuestos . ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\))$ ${\ estilo de visualización \ 3, \, 5, \, 17, \, 257, \, 65537}$

Historia

El estudio de números de este tipo fue iniciado por Fermat , quien planteó la hipótesis de que todos son primos . Sin embargo, esta hipótesis fue refutada por Euler en 1732 , cuando encontró la descomposición de un número en factores primos: $F_{5}$

F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417

En la época de Fermat, se consideraba cierto que si , entonces es un número primo $2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)$ $norte$ . Esta afirmación resultó ser falsa (contraejemplo: ), sin embargo, según Tadeusz Banachevich , fue precisamente esta afirmación la que pudo llevar a Fermat a plantear su conjetura, ya que la afirmación es cierta para todos [1] . $n=341$ $2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})$ $norte$

Primos de Fermat

Para 2022, solo se conocen 5 números primos de Fermat, en [2] $n\in \{0,1,2,3,4\}\colon$

F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;

F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;

F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;

F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;

F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537.

La existencia de otros números primos de Fermat es un problema abierto . Se sabe que son compuestos . $F_{n}$ ${\ estilo de visualización 5 \ leq n \ leq 32.}$

Propiedades

$norte$ Se puede construir un -gon regular utilizando un compás y una regla si y solo si ( ), donde son diferentes números primos de Fermat ( teorema de Gauss-Wanzel ). ${\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k))$ ${\ estilo de visualización r = 0,1,2,...}$ $p_{1},\puntos,p_{k}$
Entre los números de la forma , solo los números de Fermat pueden ser primos (es decir, el número n debe ser una potencia de 2). De hecho, si n tiene un divisor impar y , entonces $2^{n}+1$ $d>1$ $n/d=m$

2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{{2m}}-\cdots +2^{{nm}}),

y por lo tanto no es simple.

2^{n}+1

La primalidad de algunos números de Fermat se puede establecer de manera eficiente utilizando la prueba de Pepin . Sin embargo, los números de Fermat crecen fuertemente, y esta prueba se aplicó con éxito solo para 8 números, cuya composición no se había probado previamente. Según Mayer, Papadopoulos y Crandall , se necesitarán varias décadas para realizar las pruebas de Pepin en los números de Fermat posteriores [3] .
La notación decimal para los números de Fermat mayores de 5 termina en 17, 37, 57 o 97.
Cada divisor del número a tiene la forma ( Euler , Lucas , 1878). $F_{n}$ $n>2$ $k\cdot 2^{{n+2}}+1$
Los números de Fermat crecen muy rápidamente: el número 9 es mayor que un googol y el número 334 es mayor que un googolplex .

Descomposición en números primos

En total, hasta junio de 2022, se han encontrado 360 divisores primos de números de Fermat. Para 316 números de Fermat se ha demostrado que son compuestos, mientras que para 2 de ellos ( F 20 y F 24 ) no se conoce ningún divisor hasta el momento [4] . Cada año se encuentran varios divisores nuevos de los números de Fermat.

A continuación se muestra la descomposición de los números de Fermat en factores simples, con $n\in \{5,6,7,8,9\}\colon$

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;

F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;

{\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\ ,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2 }+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721; \end{matriz}}

{\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\ cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1) 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}

{\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^ {9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}

Números de Fermat generalizados

El número de Fermat generalizado es un número de la forma. Los números de Fermat son su caso especial paray $a^{{2^{n}}}+b^{{2^{n}}}$ ${\ estilo de visualización a = 2}$ ${\ estilo de visualización b = 1.}$

Notas

↑ V. Serpinski . 250 Problemas de teoría de números . - Ilustración, 1968.
↑ Secuencia OEIS A019434 _
↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), El vigésimo cuarto número de Fermat es compuesto
↑ Estado de factoraje de Fermat

Literatura

Golomb, SW (1 de enero de 1963), Sobre la suma de los recíprocos de los números de Fermat y las irracionalidades relacionadas , Canadian Journal of Mathematics Vol. 15: 475–478 , DOI 10.4153/CJM-1963-051-0
Grytczuk, A.; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), Otra nota sobre los factores primos más grandes de los números de Fermat , Boletín de Matemáticas del Sudeste Asiático , volumen 25 (1): 111–115 , DOI 10.1007/s10012-001-0111-4
Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números , vol. 1 (3ª ed.), Problem Books in Mathematics, Nueva York: Springer Verlag , p. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0- 387-26677-0 >
Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2001), 17 conferencias sobre números de Fermat: de la teoría de números a la geometría , vol. 10, libros de matemáticas de CMS, Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8 > — Este libro contiene una extensa lista de referencias.
Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), Sobre la convergencia de series de recíprocos de números primos relacionados con los números de Fermat , Journal of Number Theory vol.97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782 , < http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1 >
Luca, Florian (2000), El número antisocial de Fermat , American Mathematical Monthly , volumen 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , < http://www.maa.org/publications/periodicals/american -mathematical-mensual/american-mathematical-mensual-febrero-2000 >
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3ra ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers /libro/978-0-387-94457-9 >
Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne and Fermat Numbers , Actas de la American Mathematical Society Vol. 5 (5): 842–846 , DOI 10.2307/2031878
Yabuta, M. (2001), Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos , Fibonacci Quarterly T. 39: 439–443 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf >

Enlaces

Leonid Durman. Carreras verticales. Números de Fermat desde Euler hasta nuestros días: 1 , 2 , 3 // Computerra , 2001, n.º 393-395.
TOP-20 mayores divisores de números de Fermat
Leonid Durman , Luigi Morelli. Proyecto coordinador de FERMATSEARCH (inglés) (italiano) (ruso)
Wilfrid Keller. Factores primos de los números de Fermat

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