En matemáticas , la factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo, un número , un polinomio o una matriz ) en un producto de otros objetos o factores , que, cuando se multiplican , dan el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en los primos 3 y 5, y el polinomio x 2 − 4 se factoriza en ( x − 2)( x + 2). Como resultado de la factorización, en todos los casos, se obtiene un producto de objetos más simples que el original.
El propósito de la factorización es reducir un objeto a "bloques de construcción básicos", por ejemplo, un número a números primos, un polinomio a polinomios irreducibles . La factorización de números enteros la proporciona el teorema fundamental de la aritmética , y la de polinomios, el teorema fundamental del álgebra .
Lo contrario de factorizar polinomios es extenderlos , multiplicando los factores de polinomios para producir un polinomio "extendido" escrito como una suma de términos.
La factorización de números enteros para números grandes es una tarea de gran dificultad. No existe una forma conocida de resolver este problema rápidamente. Su complejidad subyace en algunos algoritmos de cifrado de clave pública como RSA .
Una matriz también se puede factorizar en un tipo especial de producto de matriz para aplicaciones donde esta forma es conveniente. Un ejemplo importante de esto es el uso de matrices ortogonales , unitarias y triangulares . Hay varias formas de factorizar: descomposición QR , LQ , QL , RQ , RZ .
Otro ejemplo es la factorización de funciones como composición de otras funciones que tienen ciertas propiedades. Por ejemplo, cada función puede considerarse como una composición de una función sobreyectiva con una inyectiva . Este enfoque es una generalización del concepto de factorización de sistemas.
Finalmente, en la teoría de grafos, la factorización de grafos se define como la descomposición de un gráfico en subgrafos que se expanden con bordes disjuntos (es decir, subgrafos que contienen todos los vértices del gráfico) de una forma especial [1] .
Según el teorema fundamental de la aritmética , todo número natural tiene una factorización única en factores primos. Hay muchos algoritmos de factorización de enteros mediante los cuales cualquier número natural se puede factorizar a la composición de sus factores primos usando fórmulas recursivas . Sin embargo, para números muy grandes, aún no se conoce un algoritmo eficiente.
El anillo de los números gaussianos es factorial , es decir, la descomposición en factores primos es única hasta su orden y asociación (multiplicaciones por divisores de la unidad ).