Número de condición

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En el campo del análisis numérico , el número de condición de una función con respecto a un argumento mide cuánto puede cambiar el valor de una función con un pequeño cambio en el argumento. Este parámetro refleja qué tan sensible es la función a los cambios o errores en la entrada, y cuánto el error en la salida es el resultado de un error en la entrada. Muy a menudo, el problema inverso se resuelve: sabiendo , encuentra , para lo cual se debe usar el número de condición del problema inverso (local). En la regresión lineal , el número de condición se puede utilizar como diagnóstico de multicolinealidad . [1] [2] $f(x)=y$ $X$

El número de condición es una aplicación de la derivada y se define formalmente como el valor del cambio relativo asintótico en el peor de los casos en la salida para el cambio relativo en la entrada.

y=f(x)

y+\Delta y=f(x+\Delta x)

\mu (f):=\max _{x}{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}=\max _{x}{\frac {\|\ Delta y\|/\|y\|}{\|\Delta x\|/\|x\|}}

en pequeño

\Delta x

[ aclarar ]

donde es la norma o métrica , respectivamente, en el espacio de argumentos o valores. $\|\cdot \|$ [ aclarar ]

El número de condición a menudo se aplica a preguntas de álgebra lineal, en cuyo caso la derivada es sencilla, pero el error puede estar en muchas direcciones diferentes y, por lo tanto, se calcula a partir de la geometría de la matriz. Más generalmente, el número de condición se puede definir para funciones no lineales de varias variables.

Un problema con un número de condición bajo se dice que está bien condicionado, mientras que un problema con un número de condición alto se dice que está mal condicionado. El número de condición es una propiedad del problema. Junto con el problema, se puede usar cualquier número de algoritmos para resolver el problema, es decir, para calcular la solución. Algunos algoritmos tienen una propiedad llamada estabilidad hacia atrás . En general, se puede esperar que un algoritmo estable hacia atrás resuelva problemas bien condicionados de manera estable. Los libros de texto sobre análisis numérico dan fórmulas para los números de condición de los problemas y definen algoritmos estables hacia atrás bien conocidos.

Normalmente, si el número de condición es , puede perder hasta k dígitos de precisión por encima de lo que se perdería para un valor numérico debido a la pérdida de precisión de los métodos aritméticos. [3] Sin embargo, el número de condición no da un valor exacto del error máximo que puede ocurrir en el algoritmo. Por lo general, esto simplemente lo restringe a una estimación (cuyo valor calculado depende de la elección de la norma para medir el error). ${\ estilo de visualización \ mu (f) = 10 ^ {k}}$

Número de condición para ecuaciones lineales

Sea dado un operador lineal invertible acotado . $A$

Considere la ecuación lineal

hacha = b

donde es un operador lineal , es un vector , es el vector requerido ( variable de ecuación ). Suponga que la ecuación se resuelve con un error en los datos de entrada . La razón de los errores relativos del argumento y la solución es igual a $A$ $b$ $X$ ${\ estilo de visualización b \ pm \ Delta b}$ $b$ ${\ estilo de visualización A ^ {-1} b}$

{\frac {\frac {\left\|A^{-1}\Delta b\right\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}{\frac { \|\Delta b\|}{\|b\|}}}=\left({\frac {\left\|A^{-1}\Delta b\right\|}{\|\Delta b\ |}}\right)\cdot \left({\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right).

Luego, el número de condición caracteriza qué tan grande será el error de la solución para b y e arbitrarios distintos de cero. ${\ estilo de visualización \ mu (A)}$

{\begin{alineado}\mu (A)=\max_{\Delta b,b\neq 0}\left\{\left({\frac {\left\|A^{-1}\ Delta b\right\|}{\|\Delta b\|}}\right)\cdot \left({\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\ |}}\right)\right\}&=\max _{\Delta b\neq 0}\left\({\frac {\left\|A^{-1}\Delta b\right\|}{ \|\Delta b\|}}\right\}\cdot \max _{b\neq 0}\left\{{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b \right\|}}\right\}\\&=\max _{\Delta b\neq 0}\left\({\frac {\left\|A^{-1}\Delta b\right\| }{\|\Delta b\|}}\right\}\cdot \max _{x\neq 0}\left\({\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\right \}\\&=\left\|A^{-1}\right\|\cdot \|A\|\end{alineado}}

Se da la misma definición para cualquier norma de operador (es decir, la definición depende de la elección de la norma):

\mu (A)=||A||\cdot ||A^{{-1}}||

Si el operador no está limitado , generalmente se considera que el número de condición del operador lo está . $A^{{-1}}$ $A$ $\mu (A)=+\infty$

Hay muchas declaraciones y estimaciones de la teoría de las matemáticas computacionales asociadas con el número de condición .

Si el número de condición del operador es pequeño, entonces el operador se llama bien condicionado . Si el número de condición es grande, el operador se denomina mal condicionado . Por lo tanto, cuanto menor , mejor, es decir, menores serán los errores de solución en relación con los errores en la condición. Dado que , entonces el mejor número de condición es 1. $A$ ${\ estilo de visualización \ mu (A)}$ ${\ estilo de visualización \ mu (A) \ geqslant 1}$

Ejemplo

Dado un sistema de dos ecuaciones lineales: $\left\{{\begin{matriz}u+10v=11\\100u+1001v=1101\end{matriz}}\right.$

La solución es un par de números. ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {{1;1} \ derecha \}.}$

“Perturbamos” el lado derecho de la primera ecuación en 0,01 (en lugar de 11 escribimos 11,01) y obtenemos un nuevo sistema “perturbado”, cuya solución es un par de números {11,01; 0.00}, que difiere mucho de la solución del sistema no perturbado. Aquí, un cambio en el valor de un parámetro por menos de condujo a una perturbación relativamente fuerte de la solución. ${\ estilo de visualización 0, \! 1 \%}$

Algunos teoremas relacionados con el número de condición

Una estimación del error relativo cuando la ecuación se reemplaza por una cercana

Considere dos ecuaciones lineales:

Au=f\qquad \qquad \qquad \qquad \ (1)

- ecuación "básica".

(A+\Delta A)u=f+\Delta f\qquad (2)

- "cerca de él.

Sea un operador lineal invertible acotado que actúa desde el espacio completo . $A$ $tu$

Sean también acotados los operadores, y . $A^{-1},\Delta A$ $||A^{-1}||\cdot ||\Delta A||<1$

Sea una solución de la ecuación (1), sea una solución de la ecuación (2). $tu^{*}$ $u^{*}+\Delta u$

Después

{\frac {||\Delta u||}{||u^{*}||}}\leqslant {\frac {\mu (A)}{1-\mu (A){\frac {|| \Delta A||}{||A||}}}}\left({\frac {||\Delta A||}{||A||}}+{\frac {||\Delta f| |}{||f||}}\derecha)

Notas

↑ Belsley, David A.; Kuh, Edwin; Welsch, Roy E. El número de condición // Diagnóstico de regresión: identificación de datos influyentes y fuentes de colinealidad . - Nueva York: John Wiley & Sons , 1980. - P. 100-104 . — ISBN 0-471-05856-4 .
↑ Pesaran, M. Hashem El problema de la multicolinealidad // Serie temporal y econometría de datos de panel . - Nueva York: Oxford University Press , 2015. - P. 67-72 [p. 70]. - ISBN 978-0-19-875998-0 .
↑ Cheney; Kincaid. Matemática Numérica y Computación (indefinido) . - 2007. - ISBN 978-0-495-11475-8 .