Entrofia

En hidrodinámica , la enstrofia E puede interpretarse como otro tipo de densidad potencial ; o, más concretamente, la cantidad directamente relacionada con la energía cinética en el modelo de flujo, que corresponde a los efectos de disipación en el fluido. Esto es especialmente útil en el estudio de flujos turbulentos , ya menudo se identifica en el estudio del motor , así como en el campo de la teoría de la combustión .

Dado un dominio y un campo vectorial débilmente diferenciable que representa el flujo de un fluido, como una solución a las ecuaciones de Navier-Stokes , su enstrofia se define como: [1] ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n))$

{\mathcal {E}}(u):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx,

donde _ Esta cantidad coincide con el cuadrado de la seminorma de la solución en el espacio de Sobolev . $|\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum_{i,j=1}^{n}\left|\parcial_{i}u^{j}\right|^{ 2}$ $|\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega)^{n))$

En el caso de que el flujo sea incompresible o, de manera equivalente, la entrofia pueda describirse como una integral de la vorticidad al cuadrado , [2] $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ $\mathbf {\omega}$

{\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx

o, en términos de caudal ,

{\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.

En el contexto de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles, la entrofia se manifiesta en el siguiente resultado útil [1]

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\ nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} ).

El valor entre paréntesis a la izquierda es la energía del flujo, por lo que el resultado dice que la energía disminuye en proporción a la viscosidad cinemática multiplicada por la entrofia. $\nu$

Notas

↑ 1 2 .worldcat.org/oclc/56416088 Ecuaciones de Navier-Stokes y turbulencia . - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P. 28-29. - ISBN 0-511-03936-0 .
↑ Doering, CR y Gibbon, JD (1995). Análisis aplicado de las ecuaciones de Navier-Stokes , pág. 11, Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. ISBN 052144568-X .

Fuentes

Umurhan, OM; Regev, O. (diciembre de 2004). "Estabilidad hidrodinámica de flujos soportados rotacionalmente: resultados de caja de corte 2D lineales y no lineales". Astronomía y Astrofísica . 427 (3): 855-872. arXiv : astro-ph/0404020 . Código Bib : 2004A&A...427..855U . DOI : 10.1051/0004-6361:20040573 . S2CID 15418079 .
Weiss, John (marzo de 1991). “La dinámica de la transferencia de enstrofia en hidrodinámica bidimensional”. Physica D: Fenómenos no lineales . 48 (2-3): 273-294. Código Bib : 1991PhyD...48..273W . DOI : 10.1016/0167-2789(91)90088-Q .

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