Distribución ergódica

Definición

Sea una cadena de Markov homogénea con tiempo discreto y un número contable de estados. Denotar ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0))$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

probabilidades de transición por pasos. Si existe una distribución discreta tal que y $norte$ ${\ estilo de visualización \ pi = (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots) ^ {\ arriba}}$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

entonces se llama distribución ergódica , y la cadena misma se llama ergódica .

Teorema básico sobre distribuciones ergódicas

Sea una cadena de Markov con un espacio de estado discreto y una matriz de probabilidades de transición . Entonces esta cadena es ergódica si y sólo si ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0))$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

La distribución ergódica es entonces la única solución al sistema: ${\ estilo de visualización \ mathbf {\ pi}}$

\sum \limits _{i=0}^{\infty}\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty}\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Véase también

Distribución Estacionaria .

Clasificación de estados y cadenas de Markov
Estado	aperiódico retornable realizable irrevocable insignificante cero periódico positivo comunicado importante
Cadena	aperiódico retornable irrevocable indescomponible cero periódico positivo descomponible ergódico