Núcleo del operador integral

El núcleo de un operador integral ( Fredholm kernel [1] ) es una función de dos argumentos , que define un cierto operador integral por la igualdad ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

donde es un espacio con medida , y pertenece a algún espacio de funciones definidas en . ${\ estilo de visualización x \ en \ mathbb {X}}$ ${\ estilo de visualización d \ mu (x)}$ $\varfi(x)$ $\matemáticas{X}$

Ejemplos

Un kernel se llama -kernel si cumple la condición: ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty,

donde es una función medible . ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$ $D$

Estos núcleos son el tema principal de consideración en la teoría de ecuaciones integrales .

Un núcleo que satisface la condición:

K(x,\;y)\equiv 0

y > x

llamado el núcleo de Volterra .

Un núcleo simétrico es un núcleo para el que se cumple la identidad . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Si la identidad se mantiene , ¿dónde está el complejo conjugado ? Entonces, tal núcleo se llama hermitiano . $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x)))$ ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$
Si el núcleo admite una descomposición de la forma: ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$

K(x,\;y)=\sum_{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

donde hay dos sistemas de funciones integradas cuadradas linealmente independientes ( -funciones), dicho kernel se llama Pinkerle - Goursat kernel , o PG-kernel . ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\))$ $(i=1,\;2,\;\ldots,\;n)$ $L_{2}$

Definiciones relacionadas

El espectro de un núcleo es el conjunto de sus valores propios .

Teorema de Mercer

El teorema de descomposición del núcleo de Mercer establece:

Si el núcleo simétrico es continuo y solo tiene valores propios positivos (o como máximo un número finito de valores propios negativos) , entonces se cumple la siguiente representación: $L_{2}$ ${\ estilo de visualización K (x, \; y)}$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

donde es un sistema ortogonal de funciones. La serie converge absoluta y uniformemente . ${\ estilo de visualización \ {\ varphi _ {k} (x) \}}$ $L_{2}$

Literatura

Trikomi F. Ecuaciones Integrales. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1960. - 300 p.
Polianina A. D., Manzhirov A. V. Manual de ecuaciones integrales. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 p. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Manual de ecuaciones integrales: soluciones exactas. - M. : Factorial, 1998. - 432 p. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Notas

↑ Enciclopedia Matemática / Ed. I. M. Vinogradova. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 p.