Sistema ortogonal

Un sistema ortogonal de elementos de un espacio vectorial con producto interior es un subconjunto de vectores tales que dos cualesquiera de ellos son ortogonales , es decir, su producto interior es cero: ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {\ varphi _ {i} \ derecha \} \ subconjunto H}$

{\ estilo de visualización (\ varphi _ {i}, \ varphi _ {j}) = 0}

Un sistema ortogonal, si es completo, puede usarse como base para el espacio. En este caso, la descomposición de cualquier elemento se puede calcular mediante las fórmulas: , donde . $\vec un$ ${\vec a}=\sum_{{k}}\alpha_{i}\varphi_{i}$ $\alpha_{i}={\frac {({\vec {a)),\varphi_{i})}{(\varphi_{i},\varphi_{i)))))$

El caso en que la norma de todos los elementos se denomina sistema ortonormal . ${\ estilo de visualización ||\varphi _{i}||=1}$

Ortogonalización

Para cualquier sistema linealmente independiente , se puede construir un sistema ortonormal aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt .

Cualquier sistema completo linealmente independiente en un espacio de dimensión finita es una base. De una base simple, por lo tanto, se puede pasar a una base ortonormal.

Descomposición ortogonal

Al descomponer los vectores de un espacio vectorial en forma ortonormal, se simplifica el cálculo del producto escalar: , donde y . ${\displaystyle ({\vec {a)),{\vec {b)))=\sum_{k}\alpha_{k}\beta_{k))$ ${\vec {a}}=\sum_{k}\alpha_{k}\varphi_{k}$ ${\vec {b}}=\sum_{k}\beta_{k}\varphi_{k}$

Sistema ortogonal

Ortogonalización

Descomposición ortogonal

Véase también