Jacobiano

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El jacobiano ( determinante de Jacobi , determinante funcional ) es una cierta generalización de la derivada de una función de una variable para el caso de aplicaciones del espacio euclidiano en sí mismo.

El jacobiano se expresa como el determinante de la matriz de Jacobi , una matriz compuesta por las derivadas parciales del mapeo.

El jacobiano de un mapeo en un punto generalmente se denota , a veces también de la siguiente manera: $F$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mathop {\ rm {Jac)) _ {x} f}$

{\frac {D(f_{1},\puntos,f_{n})}{D(x_{1},\puntos,x_{n)))))

{\frac {\parcial (f_{1},\dots,f_{n})}{\parcial (x_{1},\dots,x_{n)))))

Además , el jacobiano a veces (en ruso este uso del término no es del todo aceptado) se llama matriz de Jacobi en sí, y no su determinante. En inglés y en algunos otros idiomas, el término jacobiano se considera igualmente aplicable a la matriz de Jacobi y su determinante [1] .

Introducido por Jacobi (1833, 1841).

Definición

El jacobiano de una función vectorial que tiene todas las derivadas parciales de primer orden en algún punto se define como $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots,u_{n}) ,u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}),i=1,\lldots,n$ $X$

\det {\begin{pmatrix}{\parcial u_{1} \over \parcial x_{1}}(x)&{\parcial u_{1} \over \parcial x_{2}}(x) &\cdots &{\parcial u_{1} \over \parcial x_{n}}(x)\\{\parcial u_{2} \over \parcial x_{1}}(x)&{\parcial u_{ 2} \sobre \parcial x_{2}}(x)&\cdots &{\parcial u_{2} \sobre \parcial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\parcial u_{n} \over \parcial x_{1}}(x)&{\parcial u_{n} \over \parcial x_{2}}(x)&\cdots &{\parcial u_{ n} \sobre \parcial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.

También se puede hablar del determinante jacobiano o del jacobiano de un sistema de funciones . $u_{1},\ldots,u_{n}$

Interpretación geométrica

Si las funciones definen la transformación de coordenadas , entonces el significado del determinante de Jacobi está en relación con los volúmenes [2] de los paralelepípedos "estirados" una y otra vez cuando los productos son iguales . ${\tilde x}_{1}(x_{1},\dots,x_{n}),\ldots,{\tilde x}_{n}(x_{1},\dots,x_{n})$ $x_{i}\rightarrow {\tilde x}_{j}$ $d{\tilde x}_{1},d{\tilde x}_{2},\dots ,d{\tilde x}_{n}$ $dx_{1},dx_{2},\puntos,dx_{n}$ $d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}$

Aplicación

El jacobiano se usa a menudo en el análisis de funciones implícitas.
La desigualdad del determinante de Jacobi a cero sirve como condición necesaria y suficiente conveniente para la no degeneración local de una transformación de coordenadas, es decir, significa que en una vecindad del punto en consideración esta transformación es un difeomorfismo .
La integral sobre la región bajo una transformación de coordenadas no degenerada se transforma como ${\tilde x}_{j}\rightarrow x_{i}$ $\int \limits _{{{\tilde \Omega }}}f({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots,{\tilde x}_{n}) d{\tilde x}_{1}d{\tilde x}_{2}\dots d{\tilde x}_{n}=$ $=\int \limits_{{\Omega }}f({\tilde x}_{1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),{\tilde x}_{ 2}(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}),\puntos,{\tilde x}_{n}(x_{1},x_{2},\puntos,x_{ n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde x}_{1},{\tilde x}_{2},\dots ,{\tilde x}_{n})}{ D(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\puntos dx_{n}$ ( fórmula de cambio de variables en integral n -dimensional ).

Ejemplos

Ejemplo 1. Transición de un área elemental de coordenadas cartesianas ( x , y ) a coordenadas polares ( r , φ ): ${\mathrm {d}}S={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

x=r\,\cos \varphi

y=r\,\sin \varphi .

La matriz de Jacobi tiene la siguiente forma

{\hat {I))(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\parcial x}{\parcial r))&{\dfrac {\parcial x}{\parcial \ varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\parcial y}{\parcial r}}&{\dfrac {\parcial y}{\parcial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin {bmatriz}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatriz}}.

Y el jacobiano del paso de coordenadas cartesianas a polares es el determinante de la matriz jacobiana:

$J(r,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\ \sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.$

Por lo tanto, el elemento de área en la transición de coordenadas cartesianas a polares se verá así:

$\mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi = r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Ejemplo 2. Transición de un volumen elemental de coordenadas cartesianas ( x , y , z ) a coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) : ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y\,{\mathrm {d}}z$

x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi

y=r\,\sin \theta\,\sin \varphi

z=r\,\cos \theta .

La matriz de Jacobi tiene la siguiente forma

{\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\parcial x}{\parcial r))&{\dfrac {\parcial x}{ \theta parcial ))&{\dfrac {\x parcial}{\varphi parcial }}\\[3pt]{\dfrac {\y parcial}{\r parcial))&{\dfrac {\y parcial} {\ \theta parcial }}&{\dfrac {\parcial y}{\parcial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\parcial z}{\parcial r}}&{\dfrac {\parcial z }{\parcial \theta }}&{\dfrac {\parcial z}{\parcial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r \,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.

Y el jacobiano del paso de coordenadas cartesianas a esféricas es el determinante de la matriz jacobiana:

$J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I))(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \ varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \, \sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Por lo tanto, el elemento de volumen en la transición de coordenadas cartesianas a esféricas se verá así:

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi$

Propiedades

El valor absoluto del jacobiano en algún punto es igual al coeficiente de distorsión de volumen en ese punto (es decir, el límite de la relación entre el volumen de la imagen de la vecindad del punto y el volumen de la vecindad misma, cuando las dimensiones de la vecindad tienden a cero). $X$ $X$
El jacobiano en un punto es positivo si el mapeo no cambia de orientación en una vecindad del punto M, y negativo en caso contrario. $X$
Si el jacobiano de la aplicación no desaparece en el dominio , entonces la aplicación es un difeomorfismo local . $\Delta$ $\Delta$

Notas

↑ wolfram.com jacobiano
↑ Aquí nos referimos a volumen orientado . La relación de volúmenes primos es el módulo del determinante de Jacobi.

Véase también

Aplicación en física

Las relaciones de Bridgeman (termodinámica) y las relaciones de Maxwell (termodinámica) se derivan utilizando la técnica jacobiana