El jacobiano ( determinante de Jacobi , determinante funcional ) es una cierta generalización de la derivada de una función de una variable para el caso de aplicaciones del espacio euclidiano en sí mismo.
El jacobiano se expresa como el determinante de la matriz de Jacobi , una matriz compuesta por las derivadas parciales del mapeo.
El jacobiano de un mapeo en un punto generalmente se denota , a veces también de la siguiente manera:
,oAdemás , el jacobiano a veces (en ruso este uso del término no es del todo aceptado) se llama matriz de Jacobi en sí, y no su determinante. En inglés y en algunos otros idiomas, el término jacobiano se considera igualmente aplicable a la matriz de Jacobi y su determinante [1] .
Introducido por Jacobi (1833, 1841).
El jacobiano de una función vectorial que tiene todas las derivadas parciales de primer orden en algún punto se define como
También se puede hablar del determinante jacobiano o del jacobiano de un sistema de funciones .
Si las funciones definen la transformación de coordenadas , entonces el significado del determinante de Jacobi está en relación con los volúmenes [2] de los paralelepípedos "estirados" una y otra vez cuando los productos son iguales .
Ejemplo 1. Transición de un área elemental de coordenadas cartesianas ( x , y ) a coordenadas polares ( r , φ ):
La matriz de Jacobi tiene la siguiente forma
Y el jacobiano del paso de coordenadas cartesianas a polares es el determinante de la matriz jacobiana:
Por lo tanto, el elemento de área en la transición de coordenadas cartesianas a polares se verá así:
Ejemplo 2. Transición de un volumen elemental de coordenadas cartesianas ( x , y , z ) a coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) :
La matriz de Jacobi tiene la siguiente forma
Y el jacobiano del paso de coordenadas cartesianas a esféricas es el determinante de la matriz jacobiana:
Por lo tanto, el elemento de volumen en la transición de coordenadas cartesianas a esféricas se verá así: