Células de Benard

Celdas de Benard o Rayleigh-Benard : la aparición de orden en forma de celdas convectivas en forma de ejes cilíndricos o estructuras hexagonales regulares en una capa de líquido viscoso con un gradiente de temperatura vertical , es decir, calentado uniformemente desde abajo.

Las células de Benard pueden explicar el origen de las formaciones volcánicas en forma de un haz de columnas verticales, tales como los monumentos naturales " Torre del Diablo " (EE. UU.) y " El Puente de los Gigantes " (Irlanda del Norte).

El parámetro de control de la autoorganización es el gradiente de temperatura. Como resultado del calentamiento, la difusión comienza en la capa líquida inicialmente homogénea debido a la falta de homogeneidad de la densidad resultante. Al superar un determinado valor crítico del gradiente, la difusión no tiene tiempo de conducir a una distribución uniforme de la temperatura en el volumen. Aparecen ejes cilíndricos que giran uno hacia el otro (como engranajes acoplados) [1] . A medida que aumenta el gradiente de temperatura, se produce una segunda transición crítica. Para acelerar la difusión, cada rollo se divide en dos rollos más pequeños. Con un aumento adicional en el parámetro de control, los rollos se rompen y surge un caos turbulento en el límite , que se ve claramente en el diagrama de bifurcación o el árbol de Feigenbaum .

En una capa delgada , cuando se calienta desde abajo, se forman celdas de forma hexagonal regular, dentro de las cuales el líquido sube en el centro y desciende a lo largo de los bordes de la celda [2] . Tal experimento fue históricamente el primero, pero aquí, de hecho, se observa la convección de Marangoni , que ocurre debido a la acción de las fuerzas de tensión superficial y su dependencia de la temperatura del líquido.

Solución analítica del problema (problema de Rayleigh)

Importante en el problema de la convección en una capa plana es el hecho de que al escribirlo en la aproximación de Boussinesq , es posible obtener una solución analítica exacta de las ecuaciones de la hidrodinámica. Es cierto que una solución exacta simple solo se puede encontrar en un entorno abstracto con dos límites de capa indeformables libres (tanto arriba como abajo), las versiones más realistas de tales soluciones no tienen (pero los métodos analíticos aproximados funcionan bien para ellos, por ejemplo , el método de Galerkin ).

Presentamos aquí la solución del problema [3] [4] . Supongamos que el eje z está dirigido hacia arriba, perpendicular a la capa, y los ejes x e y son paralelos al límite. Es conveniente elegir el origen de coordenadas en el límite inferior de la capa. Ecuaciones iniciales de convección :

${\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}=-{\frac {1}{\rho_{ 0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec v}-\beta T{\vec g},$

${\frac {\T parcial}{\t parcial))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

La forma adimensional de las ecuaciones de convección para pequeñas perturbaciones del equilibrio, suponiendo un crecimiento exponencial de las perturbaciones en el tiempo (las llamadas perturbaciones "normales" ) - : ${\vec v},\theta \sim e^{{\lambda t))$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec v}\cdot {\vec e}_{z},$

$\nombre del operador {div}{\vec v}=0,$

donde es el vector unitario del eje z, son el número de Prandtl y el número de Rayleigh , respectivamente , y es el incremento (tasa de crecimiento) de las perturbaciones. Después de la no dimensionalización, la variable z cambia de 0 a 1. T. n. Las perturbaciones "normales" son soluciones particulares de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, se utilizan ampliamente en el estudio de problemas en varios campos. ${\vec e}_{z}$ $Pr,Ra$ $\lambda$

Las condiciones de contorno se establecen bajo el supuesto de que ambos contornos son indeformables, pero libres, y no existen esfuerzos cortantes en el fluido. Condiciones fronterizas:

${\vec v}\cdot {\vec e}_{z}=0$ , es la indeformabilidad de los contornos.

$\sigma _{{xz}}=\sigma _{{yz}}=0$ , es la ausencia de esfuerzos cortantes. Dado que creemos que estamos trabajando con un fluido para el que la ecuación de Navier-Stokes es válida , podemos escribir explícitamente la forma del tensor de tensión viscoso y obtener las condiciones de contorno para las componentes de velocidad.

$\sigma _{{ij}}=\eta \left({\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{j}}}+{\frac {\parcial v_{j}}{\parcial x_ {i}}}\derecho)$ - Ley de Navier ,

Tomando la notación para los componentes de velocidad: , reescribimos la condición de contorno para los esfuerzos cortantes en términos de velocidad: ${\vec v}=\izquierda\{u,v,w\derecha\}$

${\frac {\u parcial}{\z parcial}}=0,$

${\frac {\v parcial}{\z parcial}}=0$ .

Para perturbaciones de temperatura en el límite, se toma un valor cero. Como resultado, el sistema de condiciones de contorno del problema es el siguiente:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\parcial u}{\parcial z))={\frac {\parcial v}{\parcial z))=0;\theta =0$

Ahora, suponiendo que las perturbaciones sean normales en el espacio (aquí , el vector de onda de la perturbación paralelo al plano ) y reemplazando los operadores de diferenciación , podemos reescribir el sistema de ecuaciones de convección en forma de un sistema de EDO : ${\vec v},p,\theta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}$ ${\vec k}$ $xy$ $\Delta ={\frac {\parcial ^{2}}{\parcial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec k};{\frac {\ parcial {\parcial z}}\right\}$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0.$

Tomando el doble rotor de la primera ecuación y proyectándolo sobre el eje z, obtenemos el sistema final de ecuaciones para perturbaciones:

${\frac {\lambda }{Pr))\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

En base a las condiciones de contorno, así como al hecho de que todas las derivadas del sistema son de orden par, es conveniente representar la solución en forma de funciones trigonométricas:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta=b\sin n\pi z,$

donde n es un número entero. La solución en forma de senos satisface todas las condiciones de contorno a la vez.

Además, denotando y sustituyendo la forma esperada de la solución en las ecuaciones, obtenemos un sistema algebraico homogéneo lineal para a, b. La dependencia se puede expresar a partir de su determinante : $D=n^{2}\pi^{2}+k^{2}$ $Ra(\lambda)$

$Ra(\lambda)={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\ Correcto)$

Suponiendo aquí , el límite de la estabilidad monótona, el no aumento de las perturbaciones normales, obtenemos una fórmula para determinar el número de Rayleigh crítico del modo de perturbación n-ésima: $\lambda=0$

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

El número de Rayleigh más pequeño se obtiene en . La dependencia mínima, como puede ver fácilmente, recae en , y el número de Rayleigh mínimo en sí mismo es igual a . De acuerdo con el número de onda crítico, las estructuras aparecen en la capa en forma de rollos de ancho (en unidades adimensionales). $n=1$ $k={\frac {\pi }{{\sqrt {2))))$ $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\aprox. 657$ ${\ sqrt {2}}$

Para problemas con otras variantes de límites, el número crítico de Rayleigh resulta ser mayor. Por ejemplo, para una capa con dos límites sólidos es 1708 [5] , para una capa con un límite superior sólido y un límite inferior libre es 1156, y los números de onda críticos también cambian. Sin embargo, la imagen de rollos convectivos no cambia cualitativamente.

Véase también

Notas

↑ Van Dyke M. Álbum de flujos de líquidos y gases, M.: Mir, 1986 - p. 84, figura. 139-140
↑ Van Dyke M. Álbum de flujos de líquidos y gases, M.: Mir, 1986 - p. 85, figura. 140-141
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Estabilidad convectiva de un fluido incompresible. // M.: Nauka, 1972 - § 5
↑ Frick P. G. Turbulence: métodos y enfoques. Curso de conferencias, parte 1 // Perm: Estado de Perm. tecnología un-t., 1998 - p. 33-37
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., ibíd., § 6

Literatura

LEScriven & CVSternling "Efectos Marangoni"

Células de Benard

Solución analítica del problema (problema de Rayleigh)

Véase también

Notas

Literatura

Enlaces