Visualización logística
Un mapa logístico (también mapa cuadrático o mapa de Feigenbaum ) es un mapa polinomial que describe cómo cambia el tamaño de la población con el tiempo. A menudo se lo cita como un ejemplo de cómo puede surgir un comportamiento caótico y complejo a partir de ecuaciones no lineales muy simples. El mapa logístico es un análogo discreto de la ecuación de Verhulst logística continua ; refleja el hecho de que el crecimiento de la población ocurre en momentos discretos.
Formulación matemática [1] de mapeo
dónde:
toma valores de 0 a 1 y refleja la relación del valor de la población en el -ésimo año al máximo posible, y denota el número inicial (en el año número 0); es un parámetro positivo que caracteriza la tasa de reproducción (crecimiento) de la población.
A veces, esta formulación se denomina mapeo Verhulst (o Verhulst -Pearl ), y el mapeo logístico es otro, pero equivalente en la fórmula de propiedades [2] :
Este mapeo no lineal describe dos efectos:
- por un lado, cuando el tamaño de la población es pequeño, se reproduce a un ritmo proporcional a este tamaño;
- por otro lado, dado que la población vive en un ambiente con una "capacidad" limitada, entonces con un aumento en la densidad de población, la tasa de reproducción disminuye, la competencia y la mortalidad aumentan.
Una de las desventajas de usar el mapeo como modelo demográfico es el hecho de que para algunos valores iniciales y valores de parámetros, el mapeo da valores negativos para el tamaño de la población. El modelo discreto de Ricoeur , que también exhibe un comportamiento caótico, no tiene este inconveniente.
Comportamiento dependiente del parámetro
Al cambiar el valor del parámetro , se observa el siguiente comportamiento en el sistema [3] .
- Si es mayor que 0 y menor que 1, la población finalmente se extinguirá, independientemente de las condiciones iniciales.
- Si es mayor que 1 y menor que 2, el tamaño de la población alcanzará rápidamente un valor estacionario , independientemente de las condiciones iniciales.
- Si hay más de 2 y menos de 3, el tamaño de la población de la misma manera llegará al mismo valor estacionario , pero al principio fluctuará un poco a su alrededor. La tasa de convergencia es lineal en todas partes, excepto para el valor =3, en el que es extremadamente pequeña, menos que lineal.
- Si es mayor de 3 y menor (aproximadamente 3,45), la población fluctuará indefinidamente entre los dos valores.
- Si es mayor a 3.45 y menor a 3.54 (aproximadamente), entonces la población fluctuará indefinidamente entre cuatro valores.
- Con un valor mayor a 3.54, la población fluctuará entre 8 valores, luego 16, 32, y así sucesivamente. La longitud del intervalo de cambio de parámetro, en el que se observan fluctuaciones entre el mismo número de valores, disminuye a medida que . La relación entre dos longitudes de intervalos adyacentes tiende a la constante de Feigenbaum igual a δ ≈ 4.669... Este comportamiento es un ejemplo típico de una cascada de bifurcaciones de duplicación de período.
- A un valor de aproximadamente 3,57, comienza el comportamiento caótico y termina la cascada de duplicación. Ya no se observan fluctuaciones. Pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a diferencias incomparables en el comportamiento posterior del sistema a lo largo del tiempo, que es la característica principal del comportamiento caótico.
- La mayoría de los valores por encima de 3,57 exhiben un comportamiento caótico, sin embargo, existen "ventanas" de valores estrechas y aisladas en las que el sistema se comporta de manera regular, comúnmente denominadas "ventanas periódicas". Por ejemplo, a partir de un valor (aproximadamente 3,83), hay un intervalo de parámetros en el que se observan fluctuaciones entre tres valores, y para valores más grandes , entre 6, luego 12, etc. De hecho, se pueden encontrar oscilaciones periódicas. en el sistema con cualquier número de valores. La secuencia de cambiar el número de valores satisface el orden de Sharkovsky .
- Para > 4, los valores de mapeo salen del intervalo [0,1] y divergen bajo cualquier condición inicial.
El resultado de lo anterior se da en el diagrama de bifurcación . Los valores del parámetro se grafican a lo largo del eje de abscisas , y los valores tomados en tiempos grandes se grafican a lo largo del eje de ordenadas .
La estructura del diagrama de bifurcación es autosimilar : si aumenta el área, por ejemplo, a un valor de = 3.82 en una de las tres ramas, puede ver que la estructura fina de esta área parece una versión distorsionada y borrosa. de todo el diagrama. Lo mismo es cierto para cualquier vecindad de puntos no caóticos. Este es un ejemplo de una conexión profunda entre los sistemas caóticos y los fractales.
Un programa para construir un diagrama de bifurcación
El siguiente programa de Python construye un diagrama de bifurcación.
importar matplotlib.pyplot como plt x3 = 0,01 s = [] c = [] l = 0,01 para j dentro del rango ( 200 ): x0 = x3 para i dentro del rango ( 200 ): x0 = 1 - l * x0 * x0 s . agregar ( x0 ) c . agregar ( l ) x3 = x0 l += 0.01 por favor plot ( c , s , 'r.' , ms = 1 ) plt . mostrar ()Solución analítica
Para la solución analítica exacta es la siguiente:
Notas
- ↑ Dynamic Chaos Archivado el 22 de marzo de 2012 en Wayback Machine en Encyclopedia of Physics .
- ↑ V. N. Dumachev, V. A. Rodin. Evolución de poblaciones que interactúan antagónicamente según el modelo bidimensional de Verhulst-Pearl . - Math-Net.ru, 2005. - T. 17 , no. 7 . - S. 11-22 .
- ↑ " Demostración Java de bifurcaciones de un mapa cuadrático Archivado el 13 de mayo de 2008 en Wayback Machine " en la página de inicio del Dr. Evgeny Demidov.