Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de un fluido newtoniano viscoso . Las ecuaciones de Navier-Stokes se encuentran entre las más importantes de la hidrodinámica y se utilizan en el modelado matemático de muchos fenómenos naturales y problemas técnicos. Llamado así por el físico francés Henri Navier y el matemático británico George Stokes .

En el caso de un fluido incompresible , el sistema consta de dos ecuaciones:

ecuaciones de movimiento ,
ecuaciones de continuidad

En hidrodinámica , la ecuación de Navier-Stokes generalmente se denomina solo una ecuación vectorial de movimiento [1] [2] [3] [4] [5] [6] . La ecuación de Navier-Stokes fue obtenida por primera vez por Navier (1822, fluido incompresible [7] ) y Poisson (1829, fluido compresible [8] ), quienes partieron de conceptos modelo de fuerzas moleculares. Posteriormente, la derivación fenomenológica de la ecuación fue dada por Saint-Venant [9] y Stokes [10] .

En forma vectorial para un líquido, se escriben de la siguiente manera:

{\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))=-({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho}}\nabla p+{\vec {f)),

donde es el operador nabla , es el operador vectorial de Laplace , es el tiempo, es el coeficiente de viscosidad cinemática , es la densidad , es la presión , es el campo vectorial de velocidad, es el campo vectorial de fuerzas del cuerpo . Las incógnitas y son funciones de tiempo y coordenadas , donde , es un área plana o tridimensional en la que se mueve el fluido. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $pags$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots,\;v^{n})$ ${\ vec {f))$ $pags$ $\vec{v}$ $t$ ${\ estilo de visualización x \ en \ Omega}$ $\Omega \subconjunto \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización n = 2, \; 3}$

Para un fluido incompresible, las ecuaciones de Navier-Stokes deben complementarse con la ecuación de incompresibilidad :

\nabla \cdot {\vec{v}}=0.

Por lo general, las condiciones iniciales y de contorno se agregan al sistema de ecuaciones de Navier-Stokes, por ejemplo:

{\vec {v}}|_{\parcial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

A veces, el sistema de ecuaciones de Navier-Stokes incluye además la ecuación del calor y la ecuación de estado.

Cuando se tiene en cuenta la compresibilidad, las ecuaciones de Navier-Stokes toman la siguiente forma:

\rho \left({\frac {\parcial v_{i}}{\parcial t}}+v_{k}{\frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{k}}} \right)=-{\frac {\parcial p}{\parcial x_{i))}+{\frac {\parcial}{\parcial x_{k))}\left\{\eta \left({\ frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{k}}}+{\frac {\parcial v_{k}}{\parcial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\parcial v_{l}}{\parcial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\parcial }{\parcial x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\parcial v_{l)){\parcial x_{l))}\delta _{ik}\right),

donde es el coeficiente de viscosidad dinámica ( viscosidad de corte ), es la "segunda viscosidad ", o viscosidad a granel , es el delta de Kronecker . Esta ecuación, bajo la condición de viscosidades constantes , se reduce a la ecuación vectorial $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\parcial {\vec {v))}{\parcial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))\ derecha)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3))\derecha)\nabla \operatorname {div} {\vec { v}}.

La ecuación de continuidad para un fluido compresible toma la forma

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)))=0.

Análisis y solución de ecuaciones

El análisis de soluciones a ecuaciones es la esencia de uno de los siete " problemas del milenio ", por el cual el Clay Mathematical Institute ha otorgado un premio de US$1 millón. Es necesario probar o refutar la existencia de una solución global suave del problema de Cauchy para las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes. Encontrar una solución analítica general del sistema de Navier-Stokes para un flujo plano o tridimensional es complicado por el hecho de que no es lineal y depende en gran medida de las condiciones iniciales y de contorno.

Algunas soluciones exactas:

Flujos estacionarios en canales simples ( flujo de Poiseuille, flujo de Couette-Taylor , flujo de Couette , etc.).
Solitones y Ondas No Lineales . Un solitón ordinario puede ser una solución para el sistema bajo condiciones de contorno muy complejas. Fue observado por primera vez experimentalmente en un canal por el ingeniero Scott Russell.
Una solución que existe por un tiempo finito (los llamados "regímenes de explosión"). Esta hipótesis fue propuesta por Jean Leray en 1933 . Sugirió que la turbulencia ( caos ) en un líquido se forma debido a la formación de puntos o un filamento de vórtice, en el que algún componente de la velocidad se vuelve infinito.
Vibraciones sonoras . Para amplitudes de onda pequeñas, también se convierten en una solución . Los términos no lineales de la ecuación se pueden descartar ya que no afectan la solución. La solución son las funciones armónicas de seno o coseno, es decir, vibraciones sonoras.

Propiedades básicas del sistema Navier-Stokes

Cuando el número de Reynolds excede un cierto valor crítico, la solución analítica exacta para un flujo espacial o plano da un patrón de flujo caótico (la llamada turbulencia ). En un caso particular, se asocia con la teoría de Feigenbaum u otros escenarios de transición al caos. A medida que el número de Reynolds disminuye por debajo del valor crítico, la solución nuevamente da una forma de flujo no caótica.
Sensibilidad excepcional a cambios en los coeficientes de la ecuación en condiciones turbulentas: cuando el número Re cambia en un 0,05%, las soluciones son completamente diferentes entre sí.

Aplicación

Complementándose con las ecuaciones de transferencia de calor y transferencia de masa , así como las correspondientes fuerzas del cuerpo, el sistema de ecuaciones de Navier-Stokes puede describir la convección , la difusión térmica en líquidos, el comportamiento de mezclas multicomponentes de varios líquidos, etc.

Sin embargo, si la fuerza de Lorentz se introduce en la ecuación como una fuerza de cuerpo y el sistema se complementa con las ecuaciones de Maxwell para el campo en un medio continuo, entonces el modelo permite describir los fenómenos electro y magnetohidrodinámicos . En particular, tales modelos se utilizan con éxito en el modelado del comportamiento del plasma , gas interestelar .

El sistema de ecuaciones de Navier-Stokes es la base de la hidrodinámica geofísica , incluido el uso para describir los flujos en el manto terrestre (" problema de la dínamo ").

Además, las variaciones de la ecuación de Navier-Stokes se utilizan en meteorología dinámica para describir el movimiento de las masas de aire atmosférico, en particular, al formar un pronóstico del tiempo. Para describir flujos reales en varios dispositivos técnicos, solo se puede obtener una precisión aceptable de la solución numérica con una cuadrícula computacional de este tipo, cuyas celdas son más pequeñas que el vórtice más pequeño. Esto requiere un gasto muy grande de tiempo estimado en computadoras modernas. Por lo tanto, se han creado varios modelos de turbulencia para simplificar el cálculo de flujos reales.

Véase también

problemas matematicos abiertos
Ecuación de Euler (para fluido no viscoso)
Método de las ecuaciones de Boltzmann en celosía
Ecuaciones de aguas poco profundas

Notas

↑ Sedov LI Mecánica continua . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p. Archivado el 28 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .
↑ Landau, Lifshitz, pág. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Aeromecánica de fluidos]. - M.-Izhevsk: NIC "Dinámica regular y caótica", 2000. - P. 147. - 576 p. — ISBN 5-93972-015-2 . (enlace no disponible)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Hidromecánica teórica . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 p. Archivado el 26 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
↑ Licenciado J. Introducción a la dinámica de fluidos / Per. De inglés. edición G. Yu. Stepanova . - M. : Mir, 1973. - S. 194. - 760 p. Archivado el 26 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
↑ Ecuaciones de Navier-Stokes - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética . Targ S. M. .
↑ Naviero. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (francés) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - vol. 6 _ Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2013.
↑ Veneno. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (francés) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - Vol. 13 _ Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2013.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 (francés) // Comptes rendus. - 1843. - vol. 17 , n º 22 . _ Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2013.
↑ Stokes. Sobre las teorías de la fricción interna de los fluidos en movimiento y del equilibrio y movimiento de los sólidos elásticos (inglés) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - vol. 8 _ Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2013.

Literatura

Ecuaciones de Temam R. Navier-Stokes. Teoría y análisis numérico. - 2ª ed. — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinámica. - 4ª edición, estereotipada. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Física Teórica ", Tomo VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinámica y transferencia de calor durante la vaporización. - 3ra ed., rev. - M. : Escuela Superior, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Hidrodinámica química. - M. : Cuántica, 1996. - 336 p. - 1500 copias.
Ecuaciones de Durmagambetov A. A. Navier-Stokes: problemas del premio del milenio // Activo A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Ciencias naturales. Investigación científica y editorial académica. - 2015. - T. 7 , N º 2 . - S. 88-99 . -doi : 10.4236 / ns.2015.72010 .

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