Función automórfica

Una función automórfica es una función que es analítica en algún dominio y satisface la relación en este dominio , donde  es un elemento de algún subgrupo contable del grupo de transformaciones lineales fraccionarias del plano complejo.

Historia

La clase de funciones automórficas, que generaliza la clase de funciones elípticas , fue introducida y estudiada por el matemático francés Henri Poincaré en la década de 1880.

A lo largo del siglo XIX, prácticamente todos los matemáticos destacados de Europa participaron en el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, que resultó ser extremadamente útil para resolver ecuaciones diferenciales . Sin embargo, estas funciones no acababan de justificar las esperanzas puestas en ellas, y muchos matemáticos empezaron a pensar si era posible extender la clase de funciones elípticas para que las nuevas funciones fueran aplicables a aquellas ecuaciones donde las funciones elípticas son inútiles.

Poincaré encontró por primera vez esta idea en un artículo de Lazar Fuchs , el más destacado especialista de aquellos años en ecuaciones diferenciales lineales ( 1880 ). A lo largo de varios años, Poincaré desarrolló mucho la idea de Fuchs, creando la teoría de una nueva clase de funciones, que él, con la habitual indiferencia a las cuestiones de prioridad de Poincaré, propuso llamar funciones fucsias ( en francés  les fonctions fuchsiennes ) -aunque tenía todas las razones para dar a esta clase su propio nombre. El caso terminó con el hecho de que Felix Klein propuso el nombre de "funciones automórficas", que se fijó en la ciencia [1] . Poincaré dedujo la expansión de estas funciones en series y demostró el teorema de la adición. Estos descubrimientos "pueden considerarse con razón el pináculo de todo el desarrollo de la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja en el siglo XIX" [2] .

Al desarrollar la teoría de las funciones automórficas, Poincaré descubrió su conexión con la geometría de Lobachevsky , lo que le permitió plantear muchas cuestiones de la teoría de estas funciones en lenguaje geométrico. Publicó un modelo visual de la geometría de Lobachevsky , con el que ilustró material sobre la teoría de funciones.

Después del trabajo de Poincaré, las funciones elípticas pasaron de ser una dirección prioritaria de la ciencia a un caso especial limitado de una teoría general más poderosa. En el siglo XX, los resultados de Poincaré se extendieron al caso de funciones de varias variables (ver, por ejemplo, funciones modulares ). Se han hecho intentos para generalizar aún más la clase de funciones automórficas (formas automórficas ).

Aplicación

Las funciones automórficas se utilizan ampliamente en muchas áreas de las ciencias exactas [3] . En particular:

• Te permiten resolver cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes algebraicos.
• Se prueba la posibilidad de uniformización de las curvas algebraicas , es decir, su representación a través de funciones automórficas. Este es el problema número 22 de Hilbert , resuelto por Poincaré en 1907 .
• Los métodos de esta teoría se aplican efectivamente en la geometría algebraica , la teoría de los grupos algebraicos, la teoría de las variedades e incluso en la teoría de los números .

Literatura

• Golubev VV Funciones analíticas de un solo valor. Funciones automórficas . Moscú: Fizmatlit, 1961.
• Klein F. Conferencias sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX . Tomo I, capítulo 8. M.-L.: GONTI, 1937. 432 p.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.). Matemáticas del siglo XIX, en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1978-1987. - T. 2.
• Poincaré A. Obras escogidas, en tres volúmenes. Tomo 3. M.: Nauka, 1971-1974.
• Ford L. P., Funciones automórficas, trad. del inglés, M.-L., 1936;
• Shimura G. Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas. M.: Mir, 1973.
• Golubev VV Conferencias sobre la teoría analítica de las ecuaciones diferenciales. - M. - L .: GOSTEKHTEORIZDAT, 1941. - 400 p.

Enlaces

• Silvestrov VV Funciones automórficas: una generalización de las funciones periódicas  // Soros Educational Journal. - 2000. - Nº 3 . - S. 124-127 .

Notas

1. ↑ Poincaré A. Obras escogidas en tres volúmenes, Decreto. Op. - T. 3. - S. 690-695.
2. ↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.). Matemáticas del siglo XIX. Decreto. Op. - T. 2. - S. 247.
3. ↑ Silvestrov V. V. Funciones automórficas: una generalización de las funciones periódicas  // Revista educativa de Soros. - 2000. - Nº 3 . - S. 124-127 .