Axioma del determinismo

El axioma del determinismo es un axioma de la teoría de conjuntos , generalmente denotado AD . Este axioma fue propuesto en 1962 por los matemáticos polacos Jan Mycielski y Hugo Steinhaus [1] como reemplazo del axioma de elección (introducido en 1904, denotado AC ). El motivo de la búsqueda de una alternativa al axioma de elección fueron las consecuencias inusuales de este axioma, que provocó y sigue provocando críticas por parte de algunos matemáticos. Por ejemplo, en el caso de aplicar el axioma de elección surgen construcciones paradójicas, como la “ paradoja de doblar la bola ”. Muchos matemáticos han señalado que los conjuntos cuya existencia se demuestra mediante el axioma de elección carecen de individualidad en el sentido de que no podemos describir exhaustivamente su composición debido a la falta de un algoritmo de selección claro [2] .

En las ramas clásicas de las matemáticas ( teoría de números , cálculo , etc.), reemplazar AC por AD no cambia nada, pero en teoría de conjuntos y topología , las consecuencias del axioma de determinismo difieren significativamente de las del axioma de elección en muchos maneras. Por ejemplo, de AD se deduce que todos los conjuntos de números reales son medibles, el problema del continuo se resuelve de manera única (no hay cardinalidades intermedias) y no surge la paradoja de la bola duplicada.

El axioma del determinismo, por su propia existencia, ha despertado un gran interés entre los especialistas en los fundamentos de las matemáticas, a él se dedican numerosas publicaciones [3] , especialmente en el campo de la teoría descriptiva de conjuntos . Según los partidarios de este axioma, la situación en la teoría de conjuntos ahora se parece a la situación después del descubrimiento de la geometría no euclidiana : se puede reconocer que no hay una teoría de conjuntos, sino al menos dos, y la cuestión de cuál de ellos. es correcto no tiene sentido. Los defensores también señalan que la teoría de conjuntos basada en el axioma de determinismo es más consistente con la intuición matemática que la basada en el axioma de elección [2] [4] .

Juegos deterministas

El axioma del determinismo es más fácil de definir en términos no de teoría de conjuntos , sino de teoría de juegos [5] . Considere un conjunto A (fijo) que consta de secuencias infinitas de números naturales (tales secuencias forman un espacio de Baer topológico ).

Definamos un juego para dos personas con las siguientes reglas. El jugador I, al comenzar el juego, escribe un número natural. El jugador II, sabiendo este movimiento, escribe un número. Luego continúan formando una secuencia por turnos: el jugador I elige sus elementos pares, el jugador II, los impares. El juego dura indefinidamente, pero su resultado se declara de acuerdo con la siguiente regla: si la secuencia formada está contenida en el conjunto A dado, entonces ganó el jugador I, de lo contrario, el jugador II. $G_{A}$ $a_{0}.$ ${\ estilo de visualización a_ {1}.}$

Es fácil ver que si el conjunto A es finito o contable, entonces el jugador II tiene una estrategia ganadora simple: en el i -ésimo movimiento (donde es impar, ) elige un número que no coincida con el i -ésimo elemento de la secuencia i-ésima del conjunto A ("método diagonal"). Entonces la secuencia resultante ciertamente no coincidirá con ningún elemento del conjunto A. Además, se supone que en el caso general cada jugador tiene su propia estrategia, es decir, hay un algoritmo claro que indica el siguiente número para cada fragmento de la secuencia generada (incluida la inicial, vacía). $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización n = 2 m + 1}$ $norte$ $metro$

La estrategia del jugador I se llama ganadora si para cualquier fragmento inicial (si el fragmento no está vacío, entonces impar) en el que cada término con un índice par fue determinado por esta estrategia, puede encontrar tal que la secuencia infinita final ( formado por cualquier respuesta del jugador II) pertenece al conjunto A. La estrategia ganadora para el jugador II se define de manera similar: debe sugerir números que eventualmente evitarán que el oponente forme un resultado incluido en el conjunto A. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ $norte$ $a_{{n+1}}$

El conjunto A (y el juego correspondiente ) se denominan deterministas si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. $G_{A}$

De las reglas del juego se desprende claramente que la situación en la que ambos jugadores tienen una estrategia ganadora es imposible. También está claro que la presencia de la propiedad de determinismo depende del conjunto A. Arriba hay un ejemplo cuando el juego es ciertamente determinista (si el conjunto A es finito o contable). Así, la propiedad del determinismo en realidad no tiene un juego, sino un carácter de teoría de conjuntos [6] .

Enunciado del axioma de determinismo

Cualquier conjunto A es determinista.

Durante el estudio de este axioma, aparecieron versiones modificadas del mismo:

El axioma del determinismo real es una versión reforzada para conjuntos continuos.
Axiom AD+ es otra versión reforzada.
El axioma del determinismo proyectivo es una variante especial para conjuntos proyectivos.

Comparación entre el axioma de determinismo y el axioma de elección

Además, la axiomática generalmente aceptada de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (abreviada como ZF ) está implícita en todo el documento . Del axioma de determinismo se sigue (para el campo de los números reales) el axioma de elección numerable , en el que se basan los teoremas básicos del análisis matemático . Por lo tanto, el nuevo axioma es compatible con las matemáticas clásicas. Sin embargo, es incompatible con el axioma de elección completo: se ha demostrado [6] que utilizando el axioma de elección es posible construir un conjunto no determinista A, que contradice directamente el axioma de determinismo.

Muchas consecuencias de los axiomas en competencia en la teoría de conjuntos y la topología son opuestas entre sí. Usando el axioma de elección, se prueba que hay conjuntos de números reales que no son medibles en el sentido de Lebesgue ; del axioma del determinismo se sigue que tales conjuntos no existen: todos los conjuntos de números reales son medibles. El problema del continuo se resuelve de otra manera (existencia de potencias intermedias entre lo contable y lo continuo ) - la axiomática de Zermelo-Fraenkel permite cualquiera de las dos opciones para resolver este problema (es decir, no se puede probar ni refutar), mientras que desde el axioma del determinismo se deriva una solución única: todo conjunto infinito e incontable de números reales es continuo. También hay muchas otras diferencias: el axioma del determinismo permite ordenar completamente no cualquiera, sino solo conjuntos finitos y contables, el análisis no estándar pierde terreno [7] . La teoría descriptiva de conjuntos mencionada anteriormente es especialmente mal consistente con el axioma de elección: muchas de las hipótesis presentadas en esta teoría, como la hipótesis del continuo, resultaron ser indecidibles, mientras que el axioma del determinismo permite que estas hipótesis sean rigurosamente probadas; esto explica el gran interés en este axioma por parte de los matemáticos que estudian la teoría descriptiva de conjuntos [8] .

Notas

↑ Mycielski, enero; Steinhaus, Hugo. (1962). Un axioma matemático que contradice el axioma de elección. Boletín de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , p. 3, 4.
↑ Kanovey VG, 1985 , p. 5, 15.
↑ Kanovey VG, 1984 , p. 29
↑ Kanovey VG, 1984 , p. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , p. 33-35.
↑ Kanovey VG, 1984 , p. 51.
↑ Kanovey VG, 1985 , p. cuatro

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: Nauka, 1977. — 368 p. — Capítulo 3, § 4.
Kanovey VG El axioma de elección y el axioma de determinismo. — M .: Nauka, 1984. — 64 p. — (Problemas de la ciencia y del progreso técnico).
Kanovei VG El axioma del determinismo y el desarrollo moderno de la teoría descriptiva de conjuntos // Itogi Nauki i Tekhniki. Serie: Álgebra. Topología. Geometría. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Libro de referencia sobre lógica matemática. Parte II. Teoría de conjuntos = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Kleinberg EM Combinatoria infinita y el axioma de determinación. — Berlín: Springer, 1977.
Martin DA El axioma de determinación y principios de reducción en la jerarquía analítica // Bull. amer Matemáticas. soc. - 1968. - vol. 74, nº 4. - Pág. 687-689.
Moschovakis YM Teoría de conjuntos descriptiva. - Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1980.