Axiomas de Steenrod-Eilenberg

Los axiomas de Steenrod-Eilenberg son un conjunto de propiedades básicas de las teorías de homología identificadas por Eilenberg y Steenrod .

Este enfoque permite probar resultados, como la secuencia de Mayer-Vietoris , para todas las teorías de homología a la vez.

Axiomas

Sea una secuencia de funtores de la categoría de pares de espacios topológicos a la categoría de grupos conmutativos , dotados de una transformación natural llamada frontera . (Aquí hay una abreviatura de .) $H_n$ ${\ estilo de visualización (X, A)}$ $\parcial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A)$ $H_{i-1}(A,\emptyset)$

La equivalencia de homotopía induce la misma homología. Es decir, si es homotópico , entonces sus mapeos inducidos son los mismos. $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ $h\dos puntos (X,A)\rightarrow (Y,B)$
Supongamos que hay un par y es un subconjunto de , tal que su clausura está contenida en el interior de . Entonces la inclusión induce un isomorfismo en la homología. ${\ estilo de visualización (X, A)}$ $tu$ $X$ $A$ $i\dos puntos (XU,AU)\to (X,A)$
Sea un espacio topológico de un punto, entonces para todos . $PAGS$ $H_{n}(P)=0$ $n \neq 0$
Si , es una unión disjunta de una familia de espacios topológicos , entonces . $X=\coprod_{\alpha }{X_{\alpha }}$ $X_{\alfa}$ $H_{n}(X)\cong \bigoplus_{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$
Cada par induce una secuencia exacta larga de homologías de inclusión y : ${\ estilo de visualización (X, A)}$ $i\dos puntos A\to X$ $j\dos puntos X\a (X,A)$ $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}} {\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\parcial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Literatura

C. Kosniewski Curso elemental de topología algebraica