Secuencia Mayer-Vietoris

La sucesión de Mayer-Vietoris es una sucesión exacta larga natural que conecta la homología de un espacio con la homología de dos conjuntos abiertos que lo cubren y sus intersecciones.

La sucesión de Mayer-Vietoris se puede escribir para varias teorías de homología , incluidas las singulares , así como para todas las teorías que satisfacen los axiomas de Steenrod-Eilenberg .

Nombrado en honor a dos matemáticos austriacos , Walter Mayer y Leopold Vietoris .

Redacción

Suponga que el espacio topológico se representa como una unión de subconjuntos abiertos y . Secuencia de Mayer-Vietoris: $X$ $A$ $B$

{\begin{alineado}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\parcial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\parcial _ {*))}\\&\quad {\xrightarrow {\parcial_{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\flecha derecha\,0.\end{alineado}}

Aquí las asignaciones , , , son asignaciones de inclusión y denotan la suma directa de grupos abelianos. $i\dos puntos A\cap B\to A$ $j\dos puntos A\cap B\to B$ $k\dos puntos A\to X$ ${\ estilo de visualización l \ dos puntos B \ a X}$ $\oplus$

El mapeo de bordes que reduce la dimensionalidad se puede definir de la siguiente manera. Un elemento en está representado por un -ciclo , que puede escribirse como la suma de dos -cadenas y , cuyas imágenes se encuentran completamente en y , respectivamente. Esto se puede lograr aplicando la subdivisión baricéntrica a varios tiempos. ${\ estilo de visualización \ parcial _ {*}}$ $H_{n}(X)$ $norte$ $X$ $norte$ $tu$ $v$ $A$ $B$ $X$

Así , así . Tenga en cuenta que ambos límites y se encuentran en . Entonces se define como una clase . En este caso, la elección de la expansión no afecta el valor de . $\parcial x=\parcial u+\parcial v=0$ ${\ estilo de visualización \ u parcial = - \ v parcial}$ ${\ estilo de visualización \ u parcial}$ ${\ estilo de visualización \ v parcial}$ $A\cap B$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {*} [x]}$ ${\ estilo de visualización [\ u parcial] \ en H_ {n-1} (A \ cap B)}$ ${\ estilo de visualización x = u + v}$ ${\ estilo de visualización [\ u parcial]}$

Notas

Las asignaciones en la secuencia dependen de la elección del orden para y . $A$ $B$
- En particular, el mapeo de límites cambia de signo si y se intercambian. $A$ $B$

Aplicaciones

Homología de esferas

Para calcular la homología de una esfera k - dimensional , imagine la esfera como la unión de dos discos k - dimensionales y con una intersección homotópicamente equivalente a una esfera ecuatorial - dimensional . Dado que y son contráctiles, la sucesión de Mayer-Vietoris implica la precisión de las sucesiones ${\ estilo de visualización S^{k}}$ $A$ $B$ $(k-1)$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ $A$ $B$

0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\parcial _{*))}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0

en . La exactitud implica inmediatamente que el homomorfismo ∂ * es un isomorfismo para . Como consecuencia, $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$

H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z}

, si ,

{\ estilo de visualización n = k, 0}

de lo contrario

H_{n}(S^{k})\cong 0

Botella de Klein

Para calcular la homología de la botella de Klein, la representamos como la unión de dos cintas de Möbius y pegadas a lo largo de su círculo límite. Entonces , y su intersección son homotópicamente equivalentes a un círculo. La parte no trivial de la secuencia da $A$ $B$ $A$ $B$ $A\cap B$

0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{ 1}(X)\flecha derecha 0

La parte trivial implica poner a cero la homología en las dimensiones 3 y superiores. Tenga en cuenta que , dado que el círculo límite de la tira de Möbius se envuelve dos veces alrededor de su línea media. En particular, es inyectivo . Por lo tanto, . Eligiendo una base (1, 0) y (1, 1) en , obtenemos ${\ estilo de visualización \ alfa (1) = (2,2)}$ ${\ estilo de visualización \ alfa (1)}$ ${\ estilo de visualización H_ {2} (X) = 0}$ $\mathbb {Z} ^{2}$

{\displaystyle {H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2))

Variaciones y generalizaciones

La homología reducida también satisface la sucesión de Mayer-Vietoris bajo el supuesto de que y tienen una intersección no vacía . Esta secuencia es idéntica a la habitual, pero termina así: $A$ $B$ $\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,{\tilde {H }}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H} }_{0}(X)\flecha derecha\,0.$
Para homologías relativas, la secuencia es la siguiente: $\cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})))\,H_{n}(A, C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\parcial _ {*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots$

Véase también

Teorema de Van Kampen