Álgebra sobre el ring

Un álgebra sobre un anillo  es un sistema algebraico que es a la vez un módulo sobre este anillo y el anillo mismo, y estas dos estructuras están interconectadas. El concepto de álgebra sobre un anillo es una generalización del concepto de álgebra sobre un campo , así como el concepto de módulo generaliza el concepto de espacio vectorial .

Definiciones

Sea un anillo conmutativo  arbitrario con identidad. Un módulo sobre un anillo , en el que para una aplicación bilineal dada (bilineal no sobre un campo, sino sobre un anillo ) , se define un producto de acuerdo con la igualdad , se llama álgebra sobre o -álgebra .

Según la definición, para todos y las relaciones son válidas:

  7. , donde  es la unidad del anillo

Con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, un álgebra es un anillo.

Porque , el conmutador está definido por la igualdad . -el álgebra se llama conmutativa si .

Para el asociador se define por la igualdad . -el álgebra se llama asociativa si .

Si hay un elemento tal que para todo , entonces se llama la unidad del álgebra , y el álgebra misma se llama álgebra con unidad .

A veces también se define un álgebra sobre anillos no conmutativos; en este caso, en lugar de la condición, se requiere una condición más débil: .

Cualquier anillo puede ser considerado un álgebra sobre el anillo de los números enteros , si entendemos el producto (donde  es un número entero) normalmente, es decir, como una suma de copias . Por lo tanto, los anillos pueden considerarse como un caso especial de álgebras.

Si, en lugar de una aplicación bilineal , elegimos una aplicación multilineal y definimos el producto de acuerdo con la regla: , entonces la estructura algebraica resultante se llama -álgebra.

Álgebra libre

Si un álgebra sobre un anillo conmutativo es un módulo libre , entonces se llama álgebra libre y tiene una base sobre un anillo . Si un álgebra tiene una base finita, entonces se dice que el álgebra es de dimensión finita.

Si es un campo , entonces, por definición, el -álgebra es un espacio vectorial sobre y, por lo tanto, tiene una base .

La base de un álgebra de dimensión finita generalmente se denota por . Si el álgebra tiene una unidad , por lo general la unidad se incluye en la base y se supone que lo es . Si el álgebra tiene una base finita, entonces el producto en el álgebra se puede restaurar fácilmente con base en las tablas de multiplicar:

.

Es decir, si , , entonces el producto se puede representar como:

.

Las cantidades se denominan constantes de estructura del álgebra .

Si el álgebra es conmutativa, entonces:

.

Si el álgebra es asociativa, entonces:

.

Propiedades

Del álgebra de polinomios (en un número suficientemente grande de variables) sobre un campo , como imagen homomórfica, se puede obtener cualquier álgebra asociativa-conmutativa sobre .

Álgebra de mapas

Es posible considerar un álgebra sobre un anillo conmutativo como un módulo sobre un anillo conmutativo . Se dice que una aplicación de un álgebra sobre un anillo conmutativo a un álgebra sobre un anillo es lineal si:

, .

para cualquier , , . El conjunto de aplicaciones lineales de un álgebra a un álgebra se denota con el símbolo .

Una aplicación lineal de un álgebra en un álgebra se denomina homomorfismo si para cualquier , y también se cumple la condición: si las álgebras y tienen una unidad, entonces:

.

El conjunto de homomorfismos de un álgebra en un álgebra se denota con el símbolo .

Es obvio que .

Ejemplos

General:

Álgebras sobre el campo de los números reales :

Literatura