Números duales

Los números duales o números (hiper) complejos de tipo parabólico son números hipercomplejos de la forma , donde y son números reales , y es un elemento abstracto cuyo cuadrado es igual a cero, pero no es cero en sí mismo. Cualquier número dual está determinado únicamente por tal par de números y . El conjunto de todos los números duales forma un álgebra asociativa conmutativa bidimensional con unidad bajo la operación multiplicativa en el campo de los números reales . A diferencia del campo de los números complejos ordinarios , esta álgebra contiene divisores de cero , y todos ellos tienen la forma . El plano de todos los números duales es el "plano complejo alternativo". Las álgebras de números complejos y dobles se construyen de manera similar. $a+\varepsilon b$ $a$ $b$ $\varepsilon$ $a$ $b$ $\matemáticas {R}$ $a\varepsilon$

Comentario. En ocasiones, los números duales se denominan números dobles [1] , aunque normalmente se entiende por números dobles un sistema diferente de números hipercomplejos .

Definición

Definición algebraica

Los números duales son pares de números reales de la forma , para los cuales las operaciones de multiplicación y suma se definen según las reglas: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

En este caso, los números de la forma se identifican con números reales, y el número se denota por , después de lo cual las identidades definitorias tomarán la forma: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Más brevemente, el anillo de números duales es el anillo factorial del anillo de polinomios reales por el ideal generado por el polinomio . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Representación lineal

Los números duales se pueden representar como matrices de números reales, donde la suma de números duales corresponde a la suma de matrices y la multiplicación de números corresponde a la multiplicación de matrices. deja _ Entonces un número dual arbitrario toma la forma $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Forma indicativa

Para un exponente con exponente dual, la siguiente igualdad es verdadera:

\mathrm{e}^{\varepsilonx}=1+\varepsilonx

Esta fórmula te permite representar cualquier número dual en forma exponencial y encontrar su logaritmo en una base real. Se puede probar expandiendo el exponente en una serie de Taylor :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ puntos

En este caso, todos los términos por encima del primer orden son iguales a cero. Como consecuencia:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Operaciones aritméticas

Suma $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Sustracción $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Multiplicación ${\ estilo de visualización (a + b \ varepsilon) (c + d \ varepsilon) = (ac) + (bc + ad) \ varepsilon}$
División $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Raíces

La raíz enésima de un número de especie se define como $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Diferenciación

Los números duales están íntimamente relacionados con la diferenciación de funciones. Considere una función analítica cuyo dominio de definición puede extenderse naturalmente al anillo de números duales. Se puede demostrar fácilmente que $f(x)$

f(x+y\varepsilon)=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Por que es esto entonces

Como es sabido,

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

eso es

(x+y\varepsilon)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon)^{k}, \qquad(1)

pero como todas las potencias mayores que uno son iguales a cero, entonces $\varepsilon$

(x+y\varepsilon)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon.

Ahora considere la expansión de la función en la serie de Maclaurin (todo es similar con la expansión en la serie de Taylor):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Considere la misma función del argumento dual:

f(x+y\varepsilon)=\sum _{k=0}^{+\infty}f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon)^{k }}{k!}}.

Por la fórmula (1) obtenemos

f(x+y\varepsilon)=\sum_{k=0}^{+\infty}f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon {k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty}f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

El segundo término no es más que el desarrollo en serie de la derivada de la función , es decir $F$

f(x+y\varepsilon)=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Por lo tanto, al hacer cálculos no con números reales, sino con números duales, se puede obtener automáticamente el valor de la derivada de una función en un punto. Es especialmente conveniente considerar las composiciones de funciones de esta manera.

Se puede establecer una analogía entre los números duales y los números de análisis no estándar . La unidad imaginaria ε del anillo de duales es como el número infinitesimal del análisis no estándar: cualquier potencia (mayor que la primera) es exactamente 0, mientras que cualquier potencia de un número infinitesimal es aproximadamente igual a 0 (es un infinitesimal de orden superior) . Por lo tanto, si es un número infinitesimal, entonces hasta dentro del anillo de números hiperreales de la forma es isomorfo al anillo de números duales. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Notas

↑ J. Humphrey . Grupos algebraicos lineales. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Literatura

IM Yaglom Números complejos y su aplicación en geometría. M.: Fizmatlit, 1963. 192 p.
VV Kisil (2007) Inventando la rueda, la parabólica arXiv:0707.4024 (inglés)

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