Análisis de Fourier
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de marzo de 2022; las comprobaciones requieren 5 ediciones .El análisis de Fourier es una dirección en el análisis que estudia cómo las funciones matemáticas generales pueden representarse o aproximarse a través de la suma de funciones trigonométricas más simples . El análisis de Fourier se originó en el estudio de las propiedades de las series de Fourier y lleva el nombre de Joseph Fourier , quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor.
El análisis de Fourier encuentra aplicación para resolver una amplia gama de problemas matemáticos. En ciencia y tecnología, el proceso de descomposición de una función en componentes oscilatorios se denomina análisis de Fourier, y la operación y restauración de funciones a partir de dichas partes se denomina síntesis de Fourier.
Por ejemplo, para determinar qué componentes de frecuencia están presentes en una nota musical, se aplica el análisis de Fourier a la nota musical seleccionada. Después de eso, puede sintetizar el mismo sonido utilizando los componentes de frecuencia que se detectaron durante el análisis.
El proceso de descomposición se llama transformada de Fourier .
Aplicación
El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ciencia: en física, ecuaciones diferenciales parciales, teoría de números, combinatoria, procesamiento de señales, procesamiento de imágenes digitales, teoría de probabilidad, estadística, ciencia forense, criptografía, análisis numérico, acústica, oceanografía, geometría, análisis estructural de proteínas y otros. áreas
Esta amplia aplicabilidad se debe a muchas propiedades útiles de la transformación:
La transformación es una aplicación lineal y, bajo normalización apropiada, también unitaria (esta propiedad se conoce como teorema de Parseval , o más generalmente como teorema de Plancherel , y generalmente debido a la noción de dualidad de Pontryagin ) [1] .
- La transformación suele ser reversible.
- Las funciones exponenciales son funciones propias para la operación de derivación, lo que significa que tal representación convierte ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas ordinarias ( Evans 1998 ). Así, es posible analizar el comportamiento de sistemas estacionarios lineales de forma independiente para cada frecuencia.
- Gracias al teorema de convolución, las transformaciones de Fourier convierten una operación de convolución compleja en una simple multiplicación, lo que significa que dichas transformaciones permiten realizar cálculos con operaciones basadas en convolución, como la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes, de manera eficiente [2] .
- La versión discreta de la transformada de Fourier puede ser calculada rápidamente por computadoras usando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) [3] .
En medicina forense, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir la longitud de onda de la luz a la que un material absorberá el infrarrojo. El método de transformada de Fourier se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Y cuando se usa una computadora, tales cálculos se usan rápidamente, por lo que dicho dispositivo controlado por computadora puede producir un espectro de absorción infrarrojo en cuestión de segundos [4] .
La transformada de Fourier también se utiliza para representar de forma compacta una señal. Por ejemplo, el algoritmo de compresión JPEG utiliza una modificación de la transformada de Fourier (transformada de coseno discreta) para pequeñas piezas cuadradas de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean a una precisión inferior a la aritmética y los componentes menores se desprecian, por lo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. Durante la reconstrucción de la imagen, cada cuadrado se restaura a partir de los componentes de transformada de Fourier aproximados conservados, que luego se vuelven a convertir en una imagen original aproximadamente restaurada.
Variantes del análisis de Fourier
La transformada (continua) de Fourier
La mayoría de las veces, sin calificación, la transformada de Fourier significa aplicar un argumento real a las funciones continuas de la transformada, lo que da como resultado una función continua de frecuencia, conocida como distribuciones de frecuencia. Una función pasa a otra, y la operación misma es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo ( t ) y el dominio de la función inicial (final) es la frecuencia, la transformación de la función s ( t ) en la frecuencia f viene dada por:
El cálculo de este valor para todos los valores de f forma una función en el dominio de la frecuencia. Entonces s ( t ) se puede representar como recombinaciones de exponentes complejos para todas las frecuencias posibles:
que es la fórmula para el recíproco del número complejo, S ( f ) , contiene tanto la amplitud como la fase de la frecuencia f .
Serie de Fourier
La transformada de Fourier de una función periódica, s P ( t ) , con período P , se convierte en una función que es un peine de Dirac modulada por una secuencia de coeficientes complejos:
![{\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f81650bdeebd32083db91537bd202f5c172b5cf)
para todos los valores enteros de k , y donde ∫ P es la integral sobre un intervalo de longitud P.
La transformada inversa, conocida como la serie de Fourier, es una representación de s P ( t ) en términos de la suma de un número potencialmente infinito de sinusoides relacionadas armónicamente, o funciones exponenciales complejas, cada una de las cuales tiene amplitud y fase dadas por uno de los coeficientes:
![{\displaystyle s_{P}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t} \quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F))}{\Longleftrightarrow ))\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left( f-{\frac {k}{P}}\derecha).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11b0c1739829986923c0c552620bbfd3ecadcb0)
Cuando s P ( t ) se especifica como la suma periódica de otra función, s ( t ) :
los coeficientes son proporcionales a los elementos de S ( f ) para intervalos discretos P :
![{\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639522ac155d3a2aa8c2fcf1a47a69a699f0a0c2)
Una condición suficiente para reconstruir s ( t ) (y por lo tanto S ( f ) ) solo a partir de estos elementos (es decir, de la serie de Fourier) es que la muestra distinta de cero s ( t ) se limite a un intervalo conocido de longitud P , con la duplicación del dominio de la frecuencia según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .
Véase también
- Transformada de Fourier con ventana
- Transformada de Fourier discreta
- Transformada de Fourier discreta sobre un campo finito
Notas
- ↑ Rudin, 1990 .
- ↑ Knuth, 1997 .
- ↑ Conte, de Boor, 1980 .
- ↑ Saferstein, Richard. Criminalística: una introducción a la ciencia forense (inglés) . — 2013.
Literatura
- Conte, SD; deBoor, Carl. Análisis numérico elemental . - Tercero. - Nueva York: McGraw Hill, Inc., 1980. - ISBN 0-07-066228-2 .
- Evans , L. Ecuaciones diferenciales parciales . - Sociedad Matemática Americana, 1998. - ISBN 3-540-76124-1 .
- Howell, Kenneth B. Principios del análisis de Fourier . - CRC Press , 2001. - ISBN 978-0-8493-8275-8 .
- Kamen, E. W.; Diablos, BS Fundamentos de señales y sistemas usando la web y Matlab . - 2. - Prentiss-Hall, 2000. - ISBN 0-13-017293-6 .
- Knuth, Donald E. El arte de la programación informática Volumen 2 : Algoritmos semiméricos . — 3er. - Addison-Wesley Professional , 1997. - P. Apartado 4.3.3.C: Transformadas discretas de Fourier, pág.305. — ISBN 0-201-89684-2 .
- Muller, Meinard. La transformada de Fourier en pocas palabras . - Springer, 2015. - P. En Fundamentos del procesamiento musical , Sección 2.1, p. 40-56. — ISBN 978-3-319-21944-8 . -doi : 10.1007 / 978-3-319-21945-5 .
- polianina, AD; Manzhirov, A. V. Manual de ecuaciones integrales (inglés) . - Boca Ratón: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
- Rudin, Walter. Análisis de Fourier sobre Grupos . - Wiley-Interscience , 1990. - ISBN 0-471-52364-X .
- Smith, Steven W. La guía de científicos e ingenieros para el procesamiento de señales digitales . - Segundo. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-3-3 .
- Stein, E. M.; Weiss, G. Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos . — Prensa de la Universidad de Princeton , 1971. — ISBN 0-691-08078-X .
Enlaces
- Tablas de Transformadas Integrales en EqWorld: El Mundo de las Ecuaciones Matemáticas.
- Una explicación intuitiva de la teoría de Fourier por Steven Lehar.
- Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 6 trata sobre la Transformada de Fourier 1- y 2-D. Las conferencias 7-15 hacen uso de ella. por Alan Peters
- Moriarty, Felipe; Bowley, Roger ∑ Suma (y análisis de Fourier) . Sesenta Símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham (2009).
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