Transformada de Fourier con ventana

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La transformada de Fourier en ventana es una variación de la transformada de Fourier definida de la siguiente manera:

F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

¿ Dónde está alguna función de ventana ? En el caso de una transformada discreta , la función de ventana se usa de manera similar: $W(\tau-t)$

F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[nm]e^{-j \omega n}

Existen muchas fórmulas matemáticas que mejoran visualmente el espectro de frecuencias en la ruptura de los límites de la ventana. Para ello se aplican transformaciones: triangular (Barlett), seno ventana, seno al cubo, seno a la 4ª potencia, Parzen, Welch, Gauss, Hanning, coseno alzado (Hamming), Chebyshev, con pulsaciones, Rosenfield, transformación Blackman-Harris, parte superior horizontal y plana. También existe una técnica para superponer ventanas, en cuyo caso normalmente puede elegir cuántas muestras de la ventana anterior se promediarán con la ventana actual.

Aplicación

En la práctica, no es posible recibir una señal en un intervalo infinito, ya que no hay forma de saber cuál era la señal antes de encender el dispositivo y cuál será en el futuro. Limitar el intervalo de análisis es equivalente al producto de la señal original por una función de ventana rectangular. Por lo tanto, el resultado de la transformada de Fourier con ventana no es el espectro de la señal original, sino el espectro del producto de la señal y la función de ventana. Como resultado, hay un efecto llamado dispersión del espectro de la señal. El peligro es que los lóbulos laterales de mayor amplitud pueden enmascarar la presencia de otras señales de menor amplitud.

Para combatir la dispersión del espectro, se utiliza una función de ventana más suave, cuyo espectro tiene un lóbulo principal más ancho y un nivel bajo de lóbulos laterales. El espectro obtenido utilizando la transformada de Fourier con ventana es la convolución del espectro de la señal ideal original y el espectro de la función de ventana.

La distorsión introducida por el uso de ventanas está determinada por el tamaño de la ventana y su forma. Se distinguen las siguientes propiedades principales de las funciones de ventana: el ancho del lóbulo principal en el nivel de -3 dB, el ancho del lóbulo principal en el nivel cero, el nivel máximo de los lóbulos laterales, el coeficiente de atenuación de la función de ventana .

La transformada de Fourier con ventana se utiliza en comunicación para la síntesis de filtros de frecuencia, por ejemplo, en el método de multiplexación de frecuencia con múltiples portadoras utilizando el banco (peine) de filtros de frecuencia FBMC [1] .

Resolución de tiempo-frecuencia

Cuando se utiliza la transformada de Fourier con ventana, es imposible proporcionar una buena resolución de tiempo y frecuencia al mismo tiempo. Cuanto más estrecha sea la ventana, mayor será la resolución de tiempo y menor la resolución de frecuencia.

La resolución del eje es constante. Esto no es deseable para una serie de problemas en los que la información se distribuye de manera desigual en las frecuencias. En tales problemas, como alternativa a la transformada de Fourier con ventana, se puede utilizar la transformada wavelet , cuya resolución temporal aumenta con la frecuencia (la frecuencia disminuye).

Tipos de funciones de ventana

Ventana rectangular

w(n)=\left\{ \begin{matriz} 1 , & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\ \end{matriz} \ Correcto.

Se obtiene automáticamente cuando la muestra se limita a N muestras. Lóbulos laterales de respuesta de frecuencia máxima: -13 dB.

Ventana de Hann (Hanning)

w(n) = 0,5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)

donde N es el ancho de la ventana. Nivel de lóbulo lateral: -31,5 dB.

Ventana de Hamming

w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)

Nivel de lóbulo lateral: -42 dB.

Ventana de Blackman

w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \ Correcto)

a_{0}={\frac {1-\alpha }{2));\quad a_{1}={\frac {1}{2));\quad a_{2}={\frac {\ alfa {2}}

Nivel de lóbulo lateral: -58 dB (α=0,16).

Ventana Kaiser

w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I_0 (\beta) | }

donde es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden cero; es el coeficiente que determina la fracción de energía concentrada en el lóbulo principal del espectro de la función ventana. Cuanto más , mayor es la proporción de energía, más ancho es el lóbulo principal y más bajo el nivel de los lóbulos laterales. En la práctica, se utilizan valores de 4 a 9. $yo_0$ $\beta$ $\beta$

Implementación

Para la transformada de Fourier con ventana en forma digital, no solo se puede utilizar la ponderación de cada muestra digital en el proceso de formación de la convolución, sino también la suma ponderada equivalente de las respuestas de la transformada de Fourier [1] .

Por ejemplo, la ponderación por la ventana de Hann (Hanning) y la ventana de Hamming se puede representar como:

w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}

donde , , son las respuestas iniciales de la transformada de Fourier, es el resultado de la transformación en ventana, corresponde a la ventana de Hann (Hanning), - a la ventana de Hamming [1] [2] . ${\ estilo de visualización U_ {1}}$ ${\ estilo de visualización U_ {2}}$ ${\ estilo de visualización U_ {3}}$ $w$ $\beta=2$ ${\ estilo de visualización \ beta = 0,53836/0,23082}$

La implementación de la ponderación especificada se lleva a cabo en el modo de ventana deslizante en la matriz de respuestas de la transformada de Fourier.

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Slyusar VI Tendencias modernas de la comunicación por radioenlace. //Tecnologías y medios de comunicación. - 2014. - No. 4. - P. 32 - 36. [https://web.archive.org/web/20200110062028/https://slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf Copia archivada del 10 de enero de 2020 en la máquina Wayback ]
↑ Slyusar V. I., Korolev N. A. Vashchenko P. A. Un método para aumentar la selectividad de frecuencia de los sistemas de comunicación celular mediante formación de haz digital. // Resúmenes de informes XIV NTC. Parte 1. - Zhitomir: ZHVIRE. - 2004. - S. 77. [1] Copia de archivo fechada el 14 de enero de 2020 en la Wayback Machine

Enlaces externos

Algunas funciones de ventana y sus parámetros . Archivado el 8 de mayo de 2017 en Wayback Machine .
Uso de funciones de ventana en problemas de análisis espectral digital. Ejemplos y recomendaciones Archivado el 17 de febrero de 2017 en Wayback Machine .