Líneas antiparalelas

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Líneas antiparalelas : líneas que forman ángulos iguales en la intersección de dos líneas dadas (o lados de un ángulo dado), pero desde lados opuestos (Fig. 1).

Definición

Las rectas y se denominan antiparalelas con respecto a las rectas y , si en la Fig. 1. Si las rectas y se cortan en algún punto , entonces y también se llaman antiparalelas con respecto al ángulo . Si las líneas y coinciden, entonces se les llama antiparalelas con respecto a una línea (Fig. 2) [1] . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ ${\ estilo de visualización \ ángulo 1 = \ ángulo 2}$ $m_1$ $m_2$ $O$ $l_{1}$ $l_{2}$ ${\displaystyle m_{1}\!Om_{2))$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$

De la definición se desprende que, a diferencia del paralelismo , el antiparalelismo de dos rectas es un concepto relativo. No tiene sentido decir que "líneas y antiparalelas" a menos que se especifique con respecto a qué ángulo o qué dos líneas son antiparalelas. Sin embargo, al considerar los triángulos, a menudo se dice que alguna línea es "antiparalela a un lado del triángulo", lo que implica que es antiparalela a él con respecto a los otros dos lados . Tal línea recta también se llama antiparalela de un triángulo [2] . $l_{1}$ $l_{2}$

Propiedades

Si las líneas y son antiparalelas con respecto a y , entonces también son antiparalelas con respecto a y . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$
Dos rectas son antiparalelas con respecto a un ángulo si y sólo si forman el mismo ángulo, pero en direcciones opuestas, con la bisectriz de este ángulo (Fig. 3). $l_{1}$ $l_{2}$
Dos rectas, antiparalelas con respecto a los lados del ángulo, cortan en ellos segmentos inversamente proporcionales. Por el contrario, las líneas con esta propiedad son antiparalelas. Esto implica inmediatamente (por el teorema de la secante ) que

Los puntos de intersección de dos pares de rectas antiparalelas se encuentran en la misma circunferencia. Y viceversa, para cualquier cuadrilátero inscrito en un círculo, dos lados opuestos son antiparalelos con respecto a los otros dos lados (Fig. 4).

Todos los antiparalelos a algún lado del triángulo son paralelos entre sí.
Si la circunferencia que pasa por los vértices y del triángulo corta los lados y en los puntos y respectivamente, entonces la recta es antiparalela . Si se aumenta el radio del círculo para que también pase por el vértice , entonces la secante se vuelve tangente en el punto . Como consecuencia, $B$ $C$ $A B C$ $AB$ $C.A.$ $D$ $F$ ${\ estilo de visualización DF}$ $antes de Cristo$ $A$ ${\ estilo de visualización DF}$ $A$

Una tangente a una circunferencia circunscrita a un triángulo, dibujada en uno de sus vértices, es antiparalela al lado opuesto. Es por eso
El radio del círculo circunscrito, trazado desde el vértice del triángulo, es perpendicular a todas las líneas antiparalelas al lado opuesto.

La línea que une las bases de las dos alturas de un triángulo es antiparalela al tercer lado (porque las bases de las alturas se encuentran en el círculo dibujado en ese lado como un diámetro), por lo que los lados de un triángulo ortocéntrico son antiparalelos a los lados del triángulo original.

Historia

Aparentemente, el término "antiparalelo" fue utilizado por primera vez por Leibniz ( Acta Eruditorum , 1691, p. 279), pero le dio un significado diferente. La definición de líneas antiparalelas en el sentido moderno se da en el libro de E. Stone "A New Mathematical Dictionary" (1743). [3] Véase también [4] [5] .

Véase también

Notas

↑ AB Ivanov. Enciclopedia Matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo . - Odesa, 1902.
↑ F. Cajori. Historia de las matemáticas elementales / trad. De inglés. edición I. Yu. Timchenko. - Odessa, 1910. - S. 282.
↑ WJ James. El Uso de la Palabra Antiparalelo // Naturaleza. - 1889. - T. 41 , N º 1045 . - S. 10 .
↑ EM Langley. Sobre el uso de la palabra antiparalelo // Naturaleza. - 1889. - T. 41 , N º 1049 . - S. 104-105 .

Literatura

Efremov D. Nueva geometría triangular . - Odesa, 1902.
Zetel SI Nueva geometría triangular. - M. , 1962.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Antiparallel (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .