Lineas paralelas

Las líneas paralelas (del otro griego παράλληλος , literalmente “yendo de lado a lado; yendo a lo largo del otro”) en planimetría son líneas que no se cruzan . En estereometría , dos líneas se llaman paralelas si están en el mismo plano y no se cortan.

En geometría euclidiana

En geometría euclidiana , las líneas paralelas son líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y no se cortan [1] . En otra versión de la definición, las líneas coincidentes también se consideran paralelas [2] [3] .

La ventaja de esta última definición es que el paralelismo se convierte en una relación de equivalencia [4] .

Paralelismo de líneas y generalmente se denota de la siguiente manera:

Propiedades

• Por cualquier punto que no esté sobre una recta, se puede trazar una recta paralela a la dada, y además, una sola . La última parte de esta afirmación es el famoso quinto postulado de Euclides . El rechazo del quinto postulado conduce a la geometría de Lobachevsky (ver más abajo).
• Si una línea corta a una de las líneas paralelas, entonces corta a la otra (tal línea se llama secante ). En este caso, se forman 8 esquinas, algunos pares característicos de los cuales tienen nombres y propiedades especiales:
  • Los ángulos correspondientes son iguales (Fig.1).
  • Los ángulos cruzados son iguales (Fig. 2).
  • Los ángulos internos de un lado suman 180° (Fig.3).

Fig.1: Los ángulos correspondientes son iguales, .	Fig.2: Los ángulos cruzados internos son iguales, .	Fig.3: Las esquinas de un lado son opcionales, .

• Si consideramos las líneas coincidentes como paralelas, entonces el paralelismo será una relación de equivalencia binaria que divide todo el conjunto de líneas en clases de líneas paralelas entre sí.
• El conjunto de puntos de un plano situado a una distancia fija de una recta dada, a un lado de ella, es una recta paralela a la recta dada.

Construcción de líneas paralelas

La construcción de dos rectas paralelas en un plano utilizando un compás y una regla se puede dividir en varias etapas:

1. Construcción de una línea , con respecto a la cual desea construir una línea paralela.
2. Construcción de una recta perpendicular a una recta (ver construcción de una perpendicular ).
3. Construcción de una recta perpendicular a la recta b, y no coincidente con la recta (similar a la construcción de una recta ).

En estereometría

En planimetría , dos líneas distintas se cruzan o son paralelas. En estereometría , es posible una tercera opción: las líneas pueden no intersecarse, ya que no se encuentran en el mismo plano. Tales líneas se llaman líneas oblicuas .

En la geometría de Lobachevsky

En la geometría de Lobachevsky en el plano, por un punto exterior a una recta dada , pasa un conjunto infinito de rectas que no se cortan . Una línea recta se llama línea recta isósceles en la dirección de a si:

1. los puntos y se encuentran en el mismo lado de la línea ;
2. la recta no interseca a la recta , pero todo rayo que pasa dentro del ángulo interseca al rayo .

Del mismo modo, se define una línea recta, isósceles en la dirección de a .

Las líneas equiláteras también se llaman asintóticamente paralelas o simplemente paralelas . Todas las demás rectas que no cortan a ésta se llaman ultraparalelas o divergentes [5] .

Propiedades

• Las rectas paralelas divergentes tienen una sola perpendicular común.
  • Esta perpendicular conecta el par de puntos más cercano en estas líneas.

• A pesar del hecho de que las líneas asintóticamente paralelas no se cruzan, en cualquier par de líneas asintóticamente paralelas se pueden elegir puntos arbitrariamente cercanos.

Véase también

• Paralelismo plano
• Líneas antiparalelas
• Perpendicularidad
• ortogonalidad

Notas

1. ↑ Líneas paralelas // Gran enciclopedia soviética  : [en 30 volúmenes]  / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M.  : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
2. ↑ Zemlyakov A. N. Enfoque axiomático de la geometría (tesis)  // Educación matemática. - 2001. - N° 3 (18) . - S. 4-21 .
3. ↑ Hadamard J. Geometría elemental . - M. , 1948. - S.  52 .
4. ↑ Shikhanovich Yu. A. Introducción a las matemáticas modernas (Conceptos iniciales). - M. : Nauka, 1965. - S. 259. - 376 p.
5. ↑ Manual de Matemáticas (enlace inaccesible) . Consultado el 8 de julio de 2016. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2016. (indefinido) 

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