Calculo diferencial

El cálculo es una rama del análisis matemático que estudia los conceptos de derivada y diferencial y cómo se pueden aplicar al estudio de funciones . La formación del cálculo diferencial está asociada con los nombres de Isaac Newton y Gottfried Leibniz . Fueron ellos quienes formaron claramente las disposiciones principales y señalaron la naturaleza recíproca de la diferenciación y la integración. La creación del cálculo diferencial (junto con el integral) abrió una nueva era en el desarrollo de las matemáticas. Relacionadas con esto están disciplinas como la teoría de series, la teoría de ecuaciones diferenciales y muchas otras. Los métodos de análisis matemático han encontrado aplicación en todas las ramas de las matemáticas. El campo de aplicación de las matemáticas en las ciencias naturales y la tecnología se ha generalizado mucho.

El cálculo diferencial se basa en conceptos tan importantes de las matemáticas, cuya definición y estudio son objeto de introducción al análisis matemático: números reales (recta numérica), función, límite, continuidad. Todos estos conceptos recibieron una interpretación moderna en el curso del desarrollo y justificación del cálculo diferencial e integral.

La idea básica del cálculo diferencial es estudiar una función en lo pequeño. Más precisamente, el cálculo diferencial proporciona un aparato para estudiar funciones cuyo comportamiento en una vecindad suficientemente pequeña de cada punto es cercano al comportamiento de una función lineal o un polinomio. Tales aparatos son los conceptos centrales del cálculo diferencial: derivada y diferencial .

Cálculo diferencial de funciones de una variable

Derivado

Sea una función definida en una vecindad y para cualquier > 0 existe tal que $g(h)$ $h=0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\épsilon

, sólo

|h|<\delta,

entonces decimos que es un infinitesimal de orden . $g(h)$ $o(h^{n})$

Sea una función de valor real definida en el segmento . Esta función se llama infinitamente diferenciable en el intervalo si $f(x)$ $(a, b)$ $(a, b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\puntos {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

para cualquiera y cualquiera . Así, localmente, en la vecindad de cualquier punto del segmento, la función se aproxima arbitrariamente bien mediante un polinomio . Las funciones que son suaves en un segmento forman un anillo de funciones suaves . $x\en(a,b)$ $norte$ $(a, b)$ $C^{\infty}(a,b)$

Posibilidades $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\dots {\frac {1 {n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Estas funciones se llaman derivadas de la función . La primera derivada se puede calcular como un límite $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

El operador que asigna una función a su derivada se denota como $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac{d}{dx))

Además, para dos funciones suaves f y g,

D(f+g)=Df+Dg

D(fg)=fDg+gDf

Un operador con estas propiedades se denomina derivación de un anillo de funciones suaves.

Cualquier función analítica que sea holomorfa en el intervalo es una función suave, pero lo contrario no es cierto. La principal diferencia entre las funciones analíticas y suaves es que las primeras están completamente determinadas por su comportamiento en la vecindad de un punto, mientras que las segundas no. Por ejemplo, una función suave puede ser constante en la vecindad de un punto, pero no ser constante en todas partes. Las funciones elementales en su dominio (abierto) de definición son analíticas y, en consecuencia, funciones suaves. Sin embargo, a diferencia de las funciones analíticas, las funciones suaves se pueden definir en diferentes intervalos mediante diferentes expresiones elementales. $(a, b)$

Recta tangente

Directo

y=f(c)+f'(c)(xc)

cruza la curva

y=f(x)

en un punto de tal manera que el signo de la expresión $(c,f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

condición permanece igual todo el tiempo, por lo que la curva $f''(c)\no =0$

y=f(x)

se encuentra en un lado de la línea

y=f(c)+f'(c)(xc)

Una línea recta con la propiedad indicada se llama tangente a la curva en un punto (según B. Cavalieri ). El punto en el que la curva $x=c$ $x=c$

y=f(x)

no se encuentra en el mismo lado de una línea

y=f(c)+f'(c)(xc)

llamado punto de inflexión , mientras que la línea todavía se llama tangente. Por uniformidad, el concepto de tangente en sí mismo a menudo se presenta de manera diferente para que ambos casos caigan bajo él.

Puntos extremos

Un punto se llama punto máximo ( mínimo ) local si $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)

para todos los módulos suficientemente pequeños . De la relación $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

queda inmediatamente claro que es una condición necesaria para un máximo, y es una condición suficiente para un máximo. La condición resalta los puntos máximo, mínimo y de inflexión. $f'(c)=0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Funciones continuas

Sea definido y en los extremos del intervalo ; se dice que es continua en si para alguna existe tal que $F$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon

, sólo

|h|<\delta,

y los puntos no van más allá de los límites del intervalo . El teorema de Weierstrass establece que una función que es suave en un intervalo alcanza sus valores mínimo y máximo en un intervalo. El concepto de continuidad de una función suele estar ligado al concepto de límite de una función . Las funciones continuas en un intervalo forman un anillo de funciones continuas . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $Taxi]$

Historia

En el siglo XII, el matemático Sharafuddin at-Tusi del estado turco-mongol de Hulagu fue el primero en encontrar la derivada de una función cúbica, un resultado importante en el cálculo diferencial. Se escribió un "Tratado de Ecuaciones" en el que se desarrollaron conceptos relacionados con el cálculo diferencial, como la derivada de una función y los máximos y mínimos de las curvas, para resolver ecuaciones cúbicas que no pueden tener solución positiva.

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial

El anillo de funciones continuo y suave tiene una serie de propiedades importantes: $[a,b]$ $(a, b)$

Teorema de Rolle : si , entonces hay un punto máximo o mínimo en el que se anula. $f(a)=f(b)$ $c\en(a,b)$ $F'$
Teorema de Lagrange : existe un punto tal que $c\en(a,b)$

{\frac{f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Teorema de Cauchy : si sobre , entonces existe un punto tal que $g'\no=0$ $(a, b)$ $c\en(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

Del teorema de Lagrange, se deriva la fórmula de Taylor con un término residual en la forma de Lagrange: en cualquier segmento hay puntos tales que $(a',b')\subconjunto (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a' )^{2}+\puntos {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

dónde

R_{n}={\frac{1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Usando esta fórmula, puede calcular aproximadamente los valores de una función en un punto a partir de los valores conocidos de la función y sus derivadas en un punto . $b'$ $a'$

Del teorema de Cauchy se deriva la regla de L'Hopital : si o , y sobre , entonces $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\no=0$ $(a, b)$

\lim \limits_{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

y la existencia del segundo límite implica la existencia del primero.

Véase también

Cálculo de variaciones
Análisis de funciones de muchas variables
Cálculo integral
Para un resumen histórico y bibliografía, consulte el artículo Cálculo .
Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

Literatura

Tumba D.A .,. Cálculo diferencial // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Vinogradov I. M. (ed.) Enciclopedia de Matemáticas . Volumen 2. Moscú : Enciclopedia soviética , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de colegios técnicos . Moscú: Nauka, 1981.