Memoria de bifurcación

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La memoria de bifurcación  es un nombre generalizado para las características específicas del comportamiento de un sistema dinámico cerca de una bifurcación . El fenómeno también se conoce con los nombres de “ retardo de pérdida de estabilidad para bifurcaciones dinámicas ” [a 1] [a 2] ), “bifurcación deteriorada” (“ bifurcación imperfecta ”) [a 3] , “ soluciones pato ” [a 4] [ a 5] [a 6] [b 1] [b 2] y " atractor de fantasmas " (" atractor de fantasmas " [a 7] [nota 1] ).

Observaciones generales

La esencia del efecto de la memoria de bifurcación (BP) es la aparición de un tipo especial de proceso transitorio . El proceso transitorio habitual se caracteriza por la aproximación asintótica de un sistema dinámico desde el estado especificado por sus condiciones iniciales al estado correspondiente a su régimen estacionario estable, en la región de atracción en la que se encuentra el sistema. Sin embargo, se pueden observar dos tipos de procesos transitorios cerca del límite de la bifurcación: al pasar por el lugar del régimen estacionario desaparecido, el sistema dinámico desacelera su movimiento asintótico por un tiempo, “ como si recordara la órbita perdida ” [a 8] , y el número de revoluciones de la trayectoria de fase en esta región de la memoria de bifurcación depende de la proximidad del parámetro del sistema correspondiente a su valor de bifurcación, y solo entonces la trayectoria de fase tiende al estado correspondiente al régimen estacionario estable del sistema .

Las situaciones de bifurcación generan huellas de bifurcación en el espacio de estados, que aíslan áreas de procesos transitorios inusuales (manchas de fase).

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] Las situaciones de bifurcación generan en el espacio de estados pistas de bifurcación que aíslan regiones de procesos de transición inusuales (manchas de fase).

Feiging, 2004 [a 9]

Los fenómenos de memoria de bifurcación, que se observan en ecuaciones singularmente perturbadas , pueden considerarse característicos de aquellos casos en los que, en un determinado segmento de la trayectoria de fase, se cumplen las condiciones suficientes para la estabilidad de la proximidad de soluciones formuladas en el teorema de A. N. Tikhonov sobre el paso al límite [a 10] [a 11] se violan los sistemas perturbados y no perturbados, pero se realiza el paso al límite.

En la literatura [a 8] [a 12] , el efecto BP está asociado con peligrosas bifurcaciones de fusión .

También describimos los efectos dobles de la memoria de bifurcación, que logramos observar al considerar el comportamiento de los sistemas dinámicos, cuyos valores de los parámetros se eligieron en la vecindad de la intersección de los límites de bifurcación o su ubicación cercana. [un 13]

E. F. Mishchenko y otros señalaron una conexión directa entre las "soluciones de pato" y el "retraso de pandeo" . [1] , A. I. Neishtadt [2] , E. A. Schepakina et al. [un 14] . M. I. Feigin opinaba [a 9] [a 13] sobre la similitud entre la variante de “memoria de bifurcación” descrita por él y el “retraso de pandeo” estudiado por A. I. Neishtadt .

Definiciones notables

Se afirma que el término " memoria de bifurcación " :

... fue introducido en [a 15] para describir el hecho de que en el espacio paramétrico, al cruzar la frontera de la región de existencia de cierto tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, las soluciones del sistema conservan similitud con el ya inexistente tipo de soluciones hasta que el valor del parámetro variable difiere ligeramente del valor límite
En los modelos matemáticos que describen procesos en el tiempo, este hecho se conoce como consecuencia del teorema sobre la dependencia continua de las soluciones a las ecuaciones diferenciales [aprox. 2] (en un intervalo de tiempo finito) sobre los parámetros incluidos en ellos, y desde este punto de vista no es fundamentalmente nuevo.Ataullakhanov et al., 2007 [a 12]

Posteriormente, con el fin de resumir la experiencia investigadora acumulada, se propuso la siguiente definición:

La dinámica con los fenómenos de memoria de bifurcación es un proceso tan transitorio en el que se producen cambios en el tiempo de las coordenadas del sistema dinámico con el acercamiento del punto representativo a aquella región del espacio de fase donde previamente se encontraba la solución estacionaria del mismo sistema dinámico. ubicado en valores cercanos del parámetro de bifurcación o donde anteriormente se ubicaba la solución estacionaria del sistema reducido (básico, "estático", "degenerado") conjugado con él. La peculiaridad de tal dinámica se expresa principalmente en dos fenómenos observados en la sección indicada del proceso transitorio: 1) en una disminución local de la velocidad de fase y 2) en la similitud local de la trayectoria de fase con la que es característica del no solución estacionaria existente más larga.Moskalenko et al., 2019 [a 16]

Historia del estudio

El más antiguo de los descritos en la literatura científica sobre este tema probablemente debería reconocerse como el resultado presentado en 1973 en los Informes de la Academia de Ciencias de la URSS [a 17] , que se obtuvo bajo la dirección del académico L. S. Pontryagin y luego inició una serie de estudios extranjeros de un problema matemático conocido como " retardo de pandeo ". [un 9]

La investigación en sistemas singularmente perturbados condujo a fines de la década de 1970 a la identificación de "soluciones canard" y al desarrollo de una teoría llamada " análisis no estándar " [a 4] [a 5] [a 6] . Más tarde, en los trabajos de los investigadores rusos, las "soluciones-patos" se consideran como "una variedad integral lenta unidimensional, "pegada" de partes inestables y estables ". [3]

Los informes sobre los fenómenos de "retraso y memoria" en el modelo FitzHugh-Nagumo modificado se publicaron en la década de 1980 [a 18] [a 19] , además, con una indicación de la similitud con los fenómenos de "retraso de la pérdida de estabilidad" , que fueron estudiados por A. I. Neishtadt [a 20] [a 1] [a 21] aproximadamente al mismo tiempo.

Se ha sugerido [a 16] que en 1961, FitzHugh describió [a 22] fenómenos que son muy similares a BP y que esos resultados deben considerarse las primeras observaciones de "memoria de bifurcación" en el experimento. FitzHugh los designa con las palabras “fenómenos cuasi-umbral”, enfatizando así el hecho de que los resultados obtenidos en sus experimentos diferían significativamente de los que se observaban habitualmente en trabajos experimentales sobre la fisiología de los tejidos excitables y que fueron designados por los fisiólogos como “ efecto umbral” o respuesta según el principio “ todo o nada ”.

El interés en el estudio del extraño comportamiento de los sistemas dinámicos en una determinada región del espacio de estados fue nuevamente causado por el deseo de explicar los efectos no lineales que se encuentran en el control de los barcos que son inestables en el curso (vehículo para el transporte sobre el agua) y manifiestan en la incontrolabilidad inicial o disminución temporal en la controlabilidad del buque. [un 8] [un 9]

Desde 2001, los investigadores rusos también han descrito una variedad de soluciones, designadas como " cisnes negros " (en inglés: black swans ), que se entiende como una " variedad invariante lenta de estabilidad variable ". [a 23] [a 24] [b 3] [a 25]

Posteriormente, se descubrieron fenómenos similares en sistemas biológicos descritos por ecuaciones diferenciales parciales : en el modelo de Zarnitsyna-Morozova-Ataullakhanov del sistema de coagulación de la sangre [a 26] [a 12] y en el modelo de Aliev-Panfilov del miocardio [a 27] .

Relevancia

La relevancia se debe obviamente al deseo de evitar el estado de controlabilidad reducida del vehículo. [un 8] [un 9]

En cardiofísica se considera un tipo especial de taquicardia asociada al fenómeno de bifurcación de la memoria. [b 4] [b 5]

Se ha planteado la hipótesis [a 16] de que "la vida en su misma esencia no es más que un típico retraso en la pérdida de estabilidad".

Véase también

Notas

Comentarios

  1. ↑ Debe tenerse en cuenta que el término "atractor de fantasmas" es explotado por los escritores de ciencia ficción modernos, con un significado completamente diferente. Debe ser distinguido. El Atractor de fantasmas es un invento de Peter Venkman cuya función prevista era atraer fantasmas y reducir el trabajo preliminar realizado por los Cazafantasmas. http://ghostbusters.wikia.com/wiki/Ghost_Attractor Archivado el 20 de junio de 2013 en Wayback Machine .
  2. ↑ Debe tenerse en cuenta que el teorema sobre la dependencia continua de las soluciones de las ecuaciones diferenciales aún no ha sido probado para el caso general de sistemas de ecuaciones diferenciales de dimensión infinita - y en este sentido, el pensamiento expresado en la cita anterior debe debe tomarse sólo como una hipótesis plausible.

Notas al pie

  1. ↑ Mishchenko, 1995 , Capítulo 4, pág. 147–194.
  2. ↑ Neustadt, 1988 , pág. 229.
  3. ↑ Sobolev, 2010 , § 8.2. Trayectorias de patos, pág. 109–140.

Literatura

Libros

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Artículos

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