Bifurcación de Andronov-Hopf

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En la teoría de los sistemas dinámicos , la bifurcación de Andronov-Hopf es una bifurcación local de un campo vectorial en un plano, durante la cual un punto focal singular pierde estabilidad cuando un par de sus autovalores complejos conjugados pasa por el eje imaginario. En este caso, un pequeño ciclo límite estable nace de un punto singular ( pandeo suave ) o, por el contrario, un pequeño ciclo límite inestable en el momento de la bifurcación colapsa hasta este punto, y su piscina de repulsión después de la bifurcación tiene un tamaño separados de cero ( pandeo duro ).

Para que se produzca esta bifurcación es suficiente, además de pasar los autovalores por el eje imaginario, imponer ciertas condiciones de tipicidad al sistema.

La bifurcación de Andronov-Hopf y la bifurcación del nodo en silla de montar son las únicas bifurcaciones locales de campos vectoriales en el plano que surgen en familias típicas de un parámetro.

Definición

La bifurcación de Andronov-Hopf se llama la forma normal

{\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),

dónde

$z\in \mathbb {C} \;,$
$\lambda$ - parámetro,
$\alfa$ es el coeficiente de Lyapunov.

Si es negativo para positivo , entonces la bifurcación es supercrítica, si es positivo para negativo - subcrítico. $\alfa$ $\lambda$ $\lambda$

Pandeo suave y duro

Los términos "blando" y "duro" están asociados a la descripción del comportamiento del sistema desde el punto de vista de un observador "externo", con una evolución lenta (en comparación con la dinámica del sistema) del parámetro del sistema y la ruido del sistema por pequeñas perturbaciones aleatorias. En el caso de una pérdida suave de estabilidad, la solución se moverá desde la posición de equilibrio (que se ha vuelto inestable) hasta el ciclo límite: el observador verá una "inestabilidad" periódica del estado del sistema cerca de la posición de equilibrio, que aumentará con parámetro creciente. Sin embargo, en la escala de tiempo del "movimiento del parámetro", las "desviaciones" de la solución crecen continuamente. Por el contrario, con una dura pérdida de estabilidad, la solución se rompe “abruptamente” y va más allá del límite de la cuenca de repulsión del ciclo límite desaparecido: desde el punto de vista de un observador que vive en una escala de tiempo en la que el parámetro cambios, la solución cambió abruptamente el régimen.

Literatura

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teoría de las Bifurcaciones // Sistemas Dinámicos-5. Resultados de la ciencia y la tecnología. Problemas modernos de las matemáticas. direcciones fundamentales. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
V. I. Arnold , Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, pág. 243. M.: Nauka, 1978.