Bifurcación del nódulo en silla de montar

En la teoría de los sistemas dinámicos , una bifurcación de nodo de silla es una bifurcación local en la que un par de puntos singulares ( estable e inestable ) se fusionan en un punto singular semiestable (nodo de silla) y luego desaparecen. La única bifurcación que ocurre en familias típicas de un parámetro de campos vectoriales en la línea de manera no removible (es decir, es una bifurcación típica de codimensión 1 ).

Forma normal

animación

Considere un campo vectorial en una línea que tiene un punto singular. Si un punto singular no es degenerado ( la derivada del campo vectorial en él es diferente de 0), por el teorema de la función implícita , se conserva bajo pequeñas perturbaciones y no se produce bifurcación. Así, el caso más simple, interesante desde el punto de vista de la teoría de la bifurcación: la primera derivada es igual a cero. Normalmente, la segunda derivada es distinta de cero. Expandiendo el campo vectorial a una serie de Taylor y cambiando el sistema de coordenadas si es necesario, podemos suponer que el coeficiente at es igual a -1. En este caso, el campo vectorial tiene la forma: $x^{2}$

{\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Dado que el punto singular es degenerado, el campo vectorial (1) no es estructuralmente estable : una perturbación arbitrariamente pequeña puede destruir el punto singular o "dividirlo" en dos. Resulta que cualquier pequeña perturbación no degenerada de este campo vectorial en una vecindad del punto singular 0 es (topológicamente) equivalente a la familia de un parámetro

{\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

En otras palabras, esta familia será una deformación transversal para la ecuación (1). La familia (2) es una forma normal de bifurcación de nódulo en silla de montar.

Escenario de bifurcación

Considere la familia (2). Tres casos son posibles:

Para , el campo vectorial tiene dos puntos singulares: . Uno de ellos ( ) es estable, el otro ( ) es inestable. $\varepsilon >0$ $x=\pm {\sqrt {\varepsilon))$ ${\ Displaystyle x = + {\ sqrt {\ varepsilon}}}$ ${\ Displaystyle x = - {\ sqrt {\ varepsilon}}}$
Para , el campo vectorial tiene un único punto singular semiestable no hiperbólico 0. $\varepsilon=0$
Para , el campo vectorial no tiene puntos singulares. ${\ estilo de visualización \ varepsilon <0}$

Por lo tanto, una bifurcación de nodo de silla puede describirse como el proceso de nacimiento de un punto singular semiestable y su posterior descomposición en uno estable e inestable, o viceversa, como un proceso de fusión de un punto singular estable e inestable. apuntan a uno semiestable con su posterior desaparición.

Si consideramos un espacio de fase bidimensional y agregamos a la ecuación (2) la ecuación , para , el punto singular será un nodo estable y el punto singular será una silla de montar . Al fusionarse en , forman un punto singular con un valor propio cero y otro distinto de cero , es decir, un nodo de silla . Esto explica el nombre de la bifurcación. ${\dot {y}}=-y$ $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización ({\ sqrt {\ varepsilon)), 0)}$ ${\ estilo de visualización (-{\ sqrt {\ varepsilon)), 0)}$ $\varepsilon=0$

Literatura

D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .