Anillo booleano

Un anillo booleano es un anillo con multiplicación idempotente , es decir, un anillo en el que para todos [1] [2] [3] . $(R, +, \cdot)$ $x^{2}=x$ $x \en R$

Relación con el álgebra booleana

El ejemplo más famoso de un anillo booleano se obtiene del álgebra booleana al introducir la suma y la multiplicación de la siguiente manera: $(B,\tierra,\lor,\lno)$

$x+y=(x\land \lnot y)\lor (\lnot x\land y)$ ,
$x\cdot y=x\land y$ .

En particular, el booleano de algún conjunto forma un anillo booleano con respecto a la diferencia simétrica y la intersección de subconjuntos . En conexión con este ejemplo básico, introduciendo la suma en un anillo booleano como " exclusivo o " para álgebras booleanas, y la multiplicación como una conjunción , el símbolo se usa a veces para la suma en anillos booleanos , y para la multiplicación, los signos de la red infimum ( , , ). $X$ $\oplus$ $\tierra$ $\gorra$ $\sqcap$

Cualquier anillo booleano obtenido de esta forma a partir de un álgebra booleana tiene una unidad , que coincide con la unidad del álgebra booleana original. Además, cualquier anillo booleano con identidad define de forma única un álgebra booleana mediante las siguientes definiciones de operaciones: $(R,+,\cdot,1)$

$x\land y=x\cdot y$ ,
$x\lor y=x+y+xy$ ,
$\lno x=1+x$ .

Propiedades

En cada anillo booleano , como consecuencia de la idempotencia con respecto a la multiplicación: $(R, +, \cdot)$ $x+x=0$

x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x

y dado que el anillo es un grupo abeliano , es posible restar un componente de ambos lados de esta ecuación. $(R+)$ $x+x$

Todo anillo booleano es conmutativo , lo que también es consecuencia de la idempotencia de la multiplicación:

x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx

que da , que a su vez significa . $xy+yx=0$ $xy=yx$

Cualquier anillo booleano finito no trivial es una suma directa de campos de residuos módulo 2 ( ) y tiene una unidad . ${\matemáticas {Z}}_{2}$

El anillo cociente de cualquier anillo booleano por un ideal arbitrario también es un anillo booleano. De la misma manera, cualquier subanillo de algún anillo booleano es un anillo booleano. Todo ideal primo en un anillo booleano es maximal : un anillo cociente es un dominio de integridad , así como un anillo booleano, por lo que es isomorfo a un campo , lo que muestra maximalidad . Dado que los ideales máximos son siempre primos, los conceptos de ideales primos y máximos son los mismos para los anillos booleanos. $RHODE ISLAND$ $yo$ $PAGS$ $R$ $R/P$ $\mathbb {F} _{2}$ $PAGS$

Los anillos booleanos son absolutamente planos , es decir, cualquier módulo sobre ellos es plano .

Cada ideal finitamente generado de un anillo booleano es principal .

Notas

↑ Frehley, 1976 , pág. 200.
↑ Gerstein, 1964 , pág. 91.
↑ McCoy, 1968 , pág. 46.

Literatura

M. Atiyah , IG Macdonald . Introducción al Álgebra Conmutativa. - Westview Press, 1969. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
Juan B. Fraleigh. Un primer curso de álgebra abstracta. — 2do. - Lectura: Addison-Wesley , 1976. - ISBN 0-201-01984-1 .
EN Herstein. Temas de Álgebra. - Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Neal H. McCoy. Introducción al Álgebra Moderna . — revisado. — Boston: Allyn y Bacon, 1968.