Anillo de factores

Un anillo cociente es una construcción algebraica general que hace posible extender la construcción del grupo cociente al caso de los anillos . Cualquier anillo es un grupo de suma , por lo que podemos considerar su subgrupo y tomar el grupo de factores. Sin embargo, para definir correctamente la multiplicación sobre este grupo de cocientes , es necesario que el subgrupo original esté cerrado bajo la multiplicación por elementos arbitrarios del anillo, es decir, sea un ideal .

Definición

Sea un ideal de dos caras del anillo . Definamos la relación de equivalencia : $yo$ $R$ $R$

a \ sim b

si y solo si

ab\en I.

La clase de equivalencia de un elemento se denota como o y se llama clase lateral módulo ideal. Un anillo de cociente es un conjunto de clases laterales de elementos módulo , en el que las operaciones de suma y multiplicación se definen de la siguiente manera: $a$ $[a]$ $un+yo$ $RHODE ISLAND$ $R$ $yo$

(a+yo)+(b+yo)=(a+b)+yo

(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

Es fácil comprobar que estas operaciones están bien definidas, es decir, no dependen de la elección de un representante específico de la clase coset . Por ejemplo, la corrección de la multiplicación se verifica de la siguiente manera: let . entonces _ En el último paso de la demostración, el ideal se cierra con la multiplicación por un elemento del anillo (tanto a la izquierda como a la derecha) y se cierra con la suma. $a$ $un+yo$ $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{{1,2}}\en I$ $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\en ab +yo$

Teoremas relacionados

Teorema del homomorfismo de anillos :

Si es un homomorfismo sobreyectivo de un anillo sobre un anillo , entonces el núcleo es un ideal del anillo , y el anillo es isomorfo al anillo cociente .

F

\mathrm{K}

{\ matemáticas {R}}

\ker \,f

\mathrm{K}

{\ matemáticas {R}}

{\mathrm {K}}/\ker \,f

Por el contrario, si es un ideal del anillo , entonces el mapa definido por la condición es un homomorfismo del anillo sobre con núcleo .

{\ matemáticas {J}}

\mathrm{K}

f:{\mathrm {K}}\to {\mathrm {K/J}}

f(a)=a+{\mathrm {J}),\forall a\in {\mathrm {K}}

{\ matemáticas {J}}

{\ matemáticas {K/J}}

{\ matemáticas {J}}

El teorema es análogo al teorema del homomorfismo de grupos .

Un ideal de un anillo es primo ( máximo ) si y solo si el anillo cociente es un anillo integral ( campo ). ${\ matemáticas {J}}$ $\mathrm{K}$ ${\ matemáticas {K/J}}$
De acuerdo con el teorema chino del resto , si son ideales coprimos por pares (es decir, la suma de dos cualesquiera de ellos es igual al anillo completo), entonces el anillo cociente por su producto (o, de manera equivalente, por su intersección ) es isomorfo a el producto de factores de la forma . $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ $R/(yo_{i})$

Ejemplos

Sea el anillo de los enteros , sea el ideal formado por múltiplos de . Entonces es un módulo de anillo de residuo finito . Tal anillo también se denota o . [una] $\matemáticas {Z}$ $n{\matemáticas Z}$ $norte$ ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ $norte$ $\mathbb Z_n$ $\mathbb {Z} /(n)$
Considere un anillo de polinomios con coeficientes reales y un ideal que consta de polinomios que son múltiplos de . El anillo de factores es isomorfo al campo de los números complejos : la clase corresponde a la unidad imaginaria. En efecto, en el anillo del cociente los elementos y son equivalentes, es decir, . ${\matemáticas R}[x]$ $x^{2}+1$ ${\matemáticas R}[x]/(x^{2}+1)$ $[X]$ $x^{2}+1$ ${\ estilo de visualización 0}$ $x^{2}=-1$
Generalizando el ejemplo anterior, los anillos de factores se utilizan a menudo para construir extensiones de campo . Sea algún campo y sea un polinomio irreducible en . Entonces es un campo, y este campo contiene al menos una raíz polinomial , la clase de adyacencia del elemento . $k$ $f(x)$ $k[x]$ $K[x]/(f(x))$ $f(x)$ $X$
Un ejemplo importante del uso de la construcción anterior es la construcción de campos finitos . Considere un campo finito de dos elementos (que en este contexto generalmente se denota como ). El polinomio es irreducible sobre este campo (porque no tiene raíces), por lo que el anillo del cociente es un campo. Este campo consta de cuatro elementos: 0, 1, x y x +1. Todos los campos finitos se pueden construir de manera similar. ${\mathbbZ}/2{\mathbbZ}$ $\mathbb {F} _{2}$ $x^{2}+x+1$ ${\matemáticas F}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

Notas

↑ Lidl, Niederreiter, 1998 , Ejemplo 1.37, p. 27

Literatura

Vinberg E.B. Curso de álgebra. - 3ª ed. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Introducción al álgebra conmutativa. - M. : Mir, 1972. - 160 p.
Lidl R., Niederreiter G. Campos finitos. En 2 vols. — M .: Mir, 1998. — 430 p. — ISBN 5-03-000065-8 .