Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación de teoría de conjuntos, cuyo resultado es un nuevo conjunto que incluye todos los elementos de los conjuntos originales que no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos originales. En otras palabras, si hay dos conjuntos y , su diferencia simétrica es la unión de elementos que no están en con elementos que no están en . Por escrito, la notación se usa para denotar la diferencia simétrica de conjuntos y , la notación o [1] se usa con menos frecuencia . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\dot {-}}\,B$ $A+B$

Definición

La diferencia simétrica se puede introducir de dos formas:

la diferencia simétrica de dos conjuntos dados y es tal conjunto , que incluye todos aquellos elementos del primer conjunto que no están incluidos en el segundo conjunto, así como aquellos elementos del segundo conjunto que no están incluidos en el primer conjunto: $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).

la diferencia simétrica de dos conjuntos dados y es un conjunto que incluye todos aquellos elementos de ambos conjuntos que no son comunes a los dos conjuntos dados. $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

El concepto de una diferencia simétrica se puede generalizar a más de dos conjuntos .

Propiedades

La diferencia simétrica es una operación binaria en cualquier valor booleano ;
La diferencia simétrica es conmutativa :

A\bigtriangleup B=B\,\triangle\,A;

La diferencia simétrica es asociativa :

\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);

La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la diferencia simétrica:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

El conjunto vacío es el elemento neutro de la diferencia simétrica:

A\bigtriangleup\varnothing =A;

Cualquier conjunto es inverso a sí mismo con respecto a la operación de diferencias simétricas:

A\bigtriangleup A=\varnada;

En particular, un booleano con una operación de diferencia simétrica es un grupo abeliano ;
El booleano con la operación de diferencia simétrica también es un espacio vectorial sobre el campo ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {2}.}$
En particular, el booleano con operaciones de intersección de conjuntos y diferencias simétricas es un álgebra con unidad .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subconjunto \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subconjunto \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$

Si el papel de "suma" lo juega la operación de una diferencia simétrica, y el papel de "producto" lo juega la intersección de conjuntos , entonces los conjuntos forman un anillo con unidad . Además, otras operaciones básicas de la teoría de conjuntos, diferencia y unión, pueden expresarse a través de ellas:

A\cup B=A\bigtriangleup B\bigtriangleup \left(A\cap B\right),

A\setminus B=A\bigtriangleup \left(A\cap B\right).

La unión de una diferencia simétrica con la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los conjuntos originales

(A\bigtriangleup B)\taza (A\tapa B)=A\taza B

Ejemplo

Dejar

A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.

Después

A\,\triángulo \,B=\{1,2,6,7\}.

Véase también

Operaciones sobre conjuntos

Notas

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Álgebra general. Volumen 1. - M., Nauka, 1990. - p. 13

Literatura

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Teoría de conjuntos / Traducido del inglés por M. I. Brevemente, editado por A. D. Taimanov. - M. : Mir, 1970. - S. 23-26.