Variación (matemáticas)

Variación (del latín variación - cambio, cambio) es un término introducido en las matemáticas por J. L. Lagrange en 1762 en su obra “Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines” [1] para la notación de un pequeño desplazamiento de una variable independiente o funcional.

El concepto de "variación" se introdujo como parte del método de variaciones en el estudio de problemas extremos, basado en pequeños desplazamientos del argumento y el estudio de cómo cambian los funcionales en función de ellos. Este método es uno de los principales métodos para resolver problemas extremos (de ahí el nombre de la sección de matemáticas que estudia este problema - " cálculo de variaciones ").

Definiciones relacionadas

Considere algún espacio , en el que se da el funcional , y es el espacio de algunos parámetros. Bajo la variación del argumento , generalmente entendemos la curva , donde en , y , en el espacio que pasa en cierta proximidad a las restricciones, y el valor corresponde a . Así, cuando se recorre el conjunto de todos los parámetros, las variaciones recorren una determinada familia de curvas a partir del punto . $X$ $f(x)$ $V$ $x_{0}\en X$ ${\ estilo de visualización x (t, v)}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ leqslant t \ leqslant \ beta}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ leqslant 0}$ $\beta \geqslant 0$ $v\en V$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $v$ $x_{0}$

En el análisis de dimensión finita e infinita, a partir del primer trabajo de J. Lagrange, se suelen aplicar variaciones en las direcciones , cuando y . En este caso, el vector se llama variación . Pero este no es el único caso de variaciones, por lo que en geometría, en el cálculo de variaciones y especialmente en la teoría del control óptimo, por ejemplo, se utilizan líneas quebradas , variaciones de agujas [2] , variaciones asociadas a modos deslizantes [3] . ${\ estilo de visualización V = X}$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $v$

La elección del espacio de variación y la construcción de las propias variaciones es el elemento más importante para obtener las condiciones extremas necesarias.

Véase también

Notas

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines (francés) . Turín, 1762.
↑ Bliss G. A. Conferencias sobre el cálculo de variaciones. - por. De inglés. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Teoría matemática de los procesos óptimos. - 2ª ed. - M., 1969.