Diagrama vectorial

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de junio de 2019; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

Un diagrama vectorial es una representación gráfica de cantidades que cambian según la ley del seno (coseno) y las relaciones entre ellas utilizando segmentos dirigidos - vectores . Los diagramas vectoriales se utilizan ampliamente en ingeniería eléctrica , acústica , óptica , teoría de vibraciones, etc.

La oscilación armónica (es decir, sinusoidal) se puede representar gráficamente como una proyección sobre algún eje (generalmente toma el eje de coordenadas Ox) de un vector que gira a una velocidad angular constante ω. La longitud del vector corresponde a la amplitud , el ángulo de rotación sobre el eje (Ox) corresponde a la fase .

La suma (o diferencia) de dos o más oscilaciones en el diagrama vectorial se representa en este caso por la suma [1] (o diferencia) (geométrica) de los vectores de estas oscilaciones. El valor instantáneo de la cantidad deseada se determina en este caso por la proyección del vector suma sobre el eje Ox, la amplitud es la longitud de este vector y la fase es el ángulo de su rotación con respecto a Ox.

Diagramas vectoriales y representación compleja

Los gráficos vectoriales pueden considerarse una variante (y una ilustración) de representar las oscilaciones como números complejos . Con tal comparación, el eje Ox corresponde al eje de los números reales, y el eje Oy corresponde al eje de los números puramente imaginarios (el vector unitario positivo a lo largo del cual hay una unidad imaginaria ).

Entonces un vector de longitud A , que gira en el plano complejo con una velocidad angular constante ω con un ángulo inicial φ 0 , se escribirá como un número complejo

Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})},

y su parte real

\mathrm {Re} {\big (}Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}{\big )}=A\mathrm {cos} {\big (}\omega t+\ varphi _{0}{\grande)},

-existe una oscilación armónica con una frecuencia cíclica ω y una fase inicial φ 0 .

Aunque, como se puede ver en lo anterior, los diagramas vectoriales y la representación compleja de oscilaciones están íntimamente relacionados y de hecho representan variantes o lados diferentes del mismo método, sin embargo tienen sus propias características y pueden usarse por separado.

El método de diagramas vectoriales se puede presentar por separado en los cursos de ingeniería eléctrica o física elemental, si por una u otra razón (generalmente asociada a un nivel moderado de formación matemática de los estudiantes y falta de tiempo) es necesario evitar el uso de números complejos. (explícitamente) en general.
El método de representación compleja (que, si es necesario o se desea, también puede incluir una representación gráfica, que, sin embargo, es completamente opcional y, a veces, redundante) es, en general, más potente, ya que naturalmente incluye, por ejemplo, la compilación y solución de sistemas. de ecuaciones de cualquier complejidad, mientras que el método de diagramas vectoriales en su forma más pura todavía se limita a tareas que involucran sumas, que pueden representarse en un dibujo.
Sin embargo, el método de diagramas vectoriales (en su forma pura o como componente gráfico del método de representación compleja) es más visual y, por lo tanto, en algunos casos, potencialmente más confiable (le permite hasta cierto punto evitar errores aleatorios graves que pueden ocurrir en cálculos algebraicos abstractos) y le permite en algunos casos lograr en cierto sentido una comprensión más profunda del problema.

Ejemplos de aplicación

Mecánica; oscilador armónico

Un oscilador armónico en mecánica y un oscilador armónico de cualquier naturaleza representan formalmente una analogía exacta, por lo que los consideraremos en un párrafo usando el ejemplo de un oscilador armónico mecánico.
El uso de diagramas vectoriales en mecánica se reduce principalmente al caso de un oscilador armónico (incluido el caso de un oscilador con una fuerza de fricción de velocidad lineal); sin embargo, los diagramas vectoriales pueden ser útiles hasta cierto punto para estudiar varios osciladores, incluso en el límite de su número infinito (para oscilaciones u ondas en sistemas distribuidos).
Desde un punto de vista moderno, la aplicación de diagramas vectoriales a un oscilador armónico probablemente solo tenga interés histórico y pedagógico, pero sin embargo, en principio, son bastante aplicables aquí.
En mecánica, el uso de diagramas vectoriales (usualmente se entiende su aplicación a un oscilador unidimensional) tiene la peculiaridad de que la adición de una segunda coordenada para convertir vibraciones en rotación puede tener no solo un significado abstracto puramente formal, sino también para un sistema mecánico bidimensional de este tipo, se puede indicar un sistema mecánico bidimensional, para el cual el diagrama vectorial se realiza primero como un movimiento mecánico bidimensional completamente real, y todos los vectores son realmente bidimensionales (y después de proyectar todos ellos y el movimiento de un punto del sistema bidimensional sobre un eje, obtenemos los valores instantáneos de las cantidades correspondientes, incluida la posición, para el sistema unidimensional correspondiente); Así, para un sistema mecánico unidimensional, no sólo es posible un modelo matemático formal, sino también un modelo mecánico real que convierte un movimiento unidimensional oscilatorio en un movimiento de rotación en un espacio bidimensional, realizando un diagrama vectorial para un sistema unidimensional.

Consideremos dos casos principales de una aplicación simple de diagramas vectoriales en mecánica (como se señaló anteriormente, también aplicable a un oscilador armónico no solo mecánico, sino de cualquier naturaleza): un oscilador sin amortiguamiento y sin fuerza externa y un oscilador con ( lineal) amortiguamiento (viscosidad) y conducción externa por fuerza.

Vibraciones armónicas libres sin amortiguamiento

La idea, en una formulación mecánica, es completar el movimiento unidimensional en uno bidimensional de tal manera que el vector velocidad tenga la misma componente a lo largo del eje x que en el caso unidimensional, y sea perpendicular a el radio vector (cuya proyección sobre el eje x es la coordenada x en un sistema unidimensional).

Si la velocidad bidimensional (en el diagrama) no cambia en magnitud (módulo), entonces se puede demostrar que la aceleración también se dirige en ángulo recto a la velocidad y se dirige exactamente en dirección opuesta al radio vector ( aceleración centrípeta ) .

En cuanto a la relación de las magnitudes de los vectores, entonces, basado en el hecho geométrico bastante obvio de que el extremo de cualquier vector de longitud L , girando alrededor de su origen con una frecuencia angular ω , describe un círculo cuya longitud es igual a ωL ( donde L es su radio actual ), y , suponiendo que el movimiento en el diagrama bidimensional es puramente rotacional, es fácil entender que la velocidad lineal del punto final será -

|{\vec {v}}|=|{\dot {\vec {r}}}|=\omega |{\vec {r}}|,

y la aceleración lineal será

|{\vec {a}}|=|{\dot {\vec {v}}}|=\omega |{\vec {v}}|.

Es decir, para el vector aceleración, encontramos que su valor es igual a y la dirección es opuesta a la dirección (debido a que gira dos veces 90 grados). $\vec un$ $\omega^{2}|{\vec{r}}|,$ ${\ vec {r))$

(Así hemos recibido, por el camino, ya el teorema de la aceleración centrípeta [2] ).

Por una extensión natural de la fuerza restauradora de un oscilador unidimensional

F=-kx

a la bidimensional, que cumple la condición de que la componente x de la fuerza coincida con la unidimensional, será

{\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

Entonces vemos que es posible elegir la velocidad de rotación para que todos los vectores permanezcan sin cambios en magnitud, y solo giren con la velocidad angular ω . Es decir, si $\omega^{2}=k/m,$

m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}={\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

(Al mismo tiempo, se puede tomar cualquier longitud del vector , se reduce en esta ecuación; también se puede tomar el ángulo de rotación de la posición inicial ). ${\ vec {r))$ ${\ vec {r))$

Es decir, hemos encontrado una solución para un sistema bidimensional (correspondiente a un diagrama vectorial), y por lo tanto la proyección de esta solución sobre el eje x es una solución a la ecuación de movimiento para un sistema unidimensional, que es

x=const\cdot \mathrm {cos} (\omega t+const'),

donde y son constantes , es una solución a la ecuación de movimiento de un oscilador armónico $\omega ={\sqrt {k/m)),$ $const,const'$

m{\ddot {x}}=-kx.

Oscilador armónico amortiguado con fuerza impulsora externa

De manera similar, podemos considerar la solución de la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con una fuerza impulsora externa f :

m{\ddot {x}}=-kx-\beta {\dot {x}}+f.

(Aquí, en el lado derecho, el primer término es la fuerza restauradora Hookeiana habitual, el segundo es la fricción viscosa, el tercero es la fuerza impulsora externa; se entiende que depende solo del tiempo y no depende de x ).

Dado que casi cualquier [3] fuerza f puede expandirse en una serie o integral de Fourier, es decir, representada como una suma (suma discreta o integral) de fuerzas sinusoidales, el problema se reduce a un problema con una fuerza sinusoidal

f(t)=f_{0}\mathrm {cos} (\omega t).\

(Debido a la linealidad de la ecuación de movimiento, la solución para la suma de varias o incluso un número infinito de fs sinusoidales será la suma de las soluciones para cada una de estas fs ). (Además, el caso de una fuerza puramente sinusoidal (y ni siquiera la suma de diferentes sinusoides) puede ser importante en sí mismo).

La receta para resolver este problema utilizando el método de diagramas vectoriales es la siguiente : cada valor cinemático o dinámico unidimensional (coordenada, velocidad, aceleración, fuerza) se reemplaza (puramente formalmente, o, si se quiere, en el marco de la comparación el sistema unidimensional original de un sistema mecánico bidimensional modelo) con uno bidimensional.

Al mismo tiempo, tratamos de elegir estos vectores para que el movimiento bidimensional se reduzca a rotación pura.

Para ello, es necesario exigir que la fuerza total que actúa sobre la masa del oscilador (que es un punto material) esté siempre dirigida al mismo punto (el centro de rotación), y sea igual en magnitud a la magnitud de la aceleración centrípeta multiplicada por la masa.

En base a estas condiciones, obtenemos una ecuación para la relación de los valores absolutos de los vectores (obviamente correspondientes a las amplitudes de oscilación de las cantidades unidimensionales correspondientes), así como para sus ángulos (correspondientes a las fases de unidimensional). oscilaciones dimensionales).

Es razonable, en base a la simetría, suponer que la rotación debe ocurrir en relación con el origen de coordenadas (punto de equilibrio).

Entonces la aceleración debe estar dirigida a este punto (después de todo, nos referimos a la rotación uniforme correcta), lo que significa que tenemos dos condiciones si consideramos las componentes de fuerzas y aceleración a lo largo del eje correspondiente al radio vector y a lo largo del eje perpendicular lo. Estas dos condiciones se escriben como ecuaciones.

m\omega ^{2}r=kr-f_{r}\

0=f_{\perp}-\beta \omega r

respectivamente. (Aquí r es el módulo del vector radio, f con diferentes índices son los componentes del vector fuerza externa a lo largo del vector radio y perpendiculares a él; la primera ecuación contiene un balance cuantitativo de fuerzas radiales y aceleración centrípeta, y la segunda significa la compensación de fuerzas transversales, que es necesaria para que finalmente la fuerza se dirigiera a lo largo de la línea del radio vector, es decir, era centrípeta).

Resolviendo cada una de estas dos ecuaciones con respecto a la componente de fuerza f , y luego elevando al cuadrado cada una y sumando, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras , obtenemos: $f^{2}=f_{r}^{2}+f_{\perp}^{2},$

((km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2})r^{2}=f^{2},\

y desde aquí:

r={\frac {f}{\sqrt {(km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2)))))},

es decir, una expresión para la amplitud de oscilación para una amplitud f de fuerza impulsora dada .

(Del mismo modo, a partir de la relación de los componentes de fuerza escritos, que representa la tangente del ángulo deseado, se encuentra el ángulo en el que el vector de fuerza en el diagrama está inclinado con respecto al vector de radio. Y este ángulo es el retraso de la x fase de oscilación relativa a la fase de oscilación de la fuerza externa aplicada).

Como puede ver, el estudio de las oscilaciones bajo la acción de una fuerza sinusoidal impulsora (de la cual, entre otras cosas, se obtienen las condiciones de resonancia, etc., etc.) para un oscilador armónico se lleva a cabo con bastante éxito mediante el método de diagramas vectoriales. . Sin embargo, para el estudio de otras cuestiones, como la obtención de una solución amortiguada en ausencia de una fuerza impulsora externa, dicho método no es muy convenientemente aplicable [4] .

Cálculo de circuitos eléctricos

El cálculo de circuitos eléctricos es quizás el caso más estándar y extremadamente difundido del uso de diagramas vectoriales, y es aquí, por una serie de razones pedagógicas, donde aparentemente se usa más a menudo bajo este nombre y en su forma pura (es decir, sin siquiera mencionar los números complejos) [5 ] .

De hecho, por supuesto, existe un método similar basado en la representación compleja de oscilaciones; básicamente, se puede designar como el método de impedancias complejas (ver también Método de amplitud compleja ). En general, este último es más poderoso que el método simple de diagramas vectoriales, ya que está más formalizado y le permite encontrar una solución para un circuito arbitrario (arbitrariamente complejo) que consta de elementos lineales (resistencias, capacitores, inductores) usando el generalizado [6] Reglas de Kirchhoff . A su vez, se pueden utilizar diagramas vectoriales para ilustrar este método, y en aquellos casos [7] en los que sean aplicables, formalmente coincidan por completo.

El caso más estándar, común y sencillo de aplicar diagramas vectoriales a circuitos eléctricos son los circuitos en serie y en paralelo formados por elementos lineales (resistencias, condensadores y elementos con inductancia [8] ).

En principio, los diagramas vectoriales pueden usarse, si los parámetros de los elementos del circuito y la frecuencia se especifican numéricamente, para obtener una respuesta gráficamente casi sin cálculos (mediante la construcción de un dibujo preciso), pero más a menudo, se entiende el uso de un diagrama vectorial. como obtener una respuesta utilizándola en forma de fórmula (entonces, el vector del diagrama desempeña el papel de un dibujo esquemático para resolver un problema geométrico).

La base para realizar un cálculo típico en términos que excluyen el uso explícito de números complejos es el concepto de reactancia , que se introduce para capacitores y elementos inductivos ( inductores ), con base en las ecuaciones físicas básicas [9] que permiten relacionar los corriente a través del elemento y el voltaje a través de él (o EMF en él):

para el condensador: $CU=Q=\int Idt,$
para inductancia: ${\mathcal {E}}=-LdI/dt,$ además $U=-{\mathcal {E}}$

Entonces una corriente sinusoidal se sustituye en estas ecuaciones:

$I=I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0})$

y obten

para el condensador:

U={\frac {1}{C\omega }}I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})={\frac {1}{C\omega }} I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0}-{\frac {\pi }{2))),

para inductancia:

U=-L\omega I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})=L\omega I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi_{ 0}+{\frac{\pi}{2)))).

Tenga en cuenta que las fórmulas son muy similares a la ley de Ohm habitual

U=RI,

excepto por dos puntos: 1) si la resistencia R habitual (llamada en este contexto activa ) no provoca un cambio en la fase del voltaje en comparación con la corriente (están en fase), entonces el voltaje en el capacitor se retrasa en fase con respecto a la corriente en 90 °, y en la inductancia, el voltaje se adelanta a la corriente de fase en los mismos 90 °; 2) el coeficiente por el cual se multiplica la corriente para obtener un voltaje, simplemente llamado reactancia, depende tanto del capacitor como de la inductancia de la frecuencia de la corriente (y depende de manera diferente e inversa).

Por lo tanto, sabemos cómo representar el voltaje a través de un capacitor, inductor o resistencia en un diagrama vectorial si se conoce la corriente (es decir, su vector ya se dibujó). A saber: para un condensador, debemos multiplicar (escala) el vector actual por un factor y girarlo 90 ° en sentido negativo (en el sentido de las agujas del reloj), para una inductancia, debemos multiplicar el vector actual por y girarlo 90 ° en sentido positivo dirección dirección (hacia la izquierda). Entonces obtenemos un vector que representa el voltaje para el capacitor y la inductancia, si conocemos el vector actual. Para una resistencia ("resistencia activa"), para construir un vector que represente el voltaje, un vector que represente la corriente solo debe multiplicarse por R sin cambiar su dirección. ${\frac{1}{\omega C))$ ${\ estilo de visualización \ omega L}$

Exactamente de la misma manera, es posible construir un vector que represente la corriente en un diagrama vectorial si conocemos el vector que representa el voltaje. (Obviamente, solo tienes que multiplicar por los recíprocos de los números anteriores y rotar el vector en la dirección opuesta).

Cuando esto está claro, podemos considerar tareas específicamente típicas para la conexión en paralelo y en serie de elementos.

El hecho principal utilizado para resolver el problema con una conexión en paralelo es el hecho de que el voltaje en todos los elementos conectados en paralelo es el mismo, por lo tanto, el vector de voltaje se toma como vector inicial (es el mismo para todos los elementos, es decir , es solo uno, por lo tanto, es conveniente comenzar). Luego, de acuerdo con la receta anterior, se construyen los vectores de corriente para cada elemento y su suma (vectorial), por supuesto, representa la corriente total.
El hecho principal para resolver un problema con una conexión en serie es la igualdad de la corriente en todos los elementos conectados en serie [10] Luego comenzamos la construcción del vector actual, calculamos el voltaje en cada elemento de la manera descrita anteriormente (a través de su activo o reactancia), y el voltaje en los extremos del circuito se calcula como la suma de los vectores que representan el voltaje en cada elemento. Le permite determinar la amplitud y la fase del voltaje en los extremos del circuito, si se conocen la amplitud, la fase y la frecuencia de la corriente. Después de escribir la respuesta en forma de fórmula, puede, si es necesario, reescribirla de tal manera que exprese, por el contrario, una corriente desconocida a través de un voltaje conocido.

La última opción para construir un diagrama vectorial (para una resistencia, inductancia y capacitor conectados en serie) se muestra en la figura.

Detalles

Un circuito en serie (como en la figura) incluye una resistencia R , un capacitor C y un inductor L. Denotamos el voltaje en cada uno de estos elementos, respectivamente , U R , U C , U L , y la corriente a través del circuito (la misma para cada elemento debido a su conexión en serie) denotamos I.

El voltaje en los extremos del circuito (que denotaremos como U RLC ) será la suma de los voltajes en cada elemento:

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L}.

Suponemos (de acuerdo con las condiciones del problema [11] ) que la corriente en el circuito es sinusoidal y la representamos en el diagrama vectorial (parte superior de la figura) como un vector horizontal con una longitud igual a la amplitud de la actual (esto significa que tomamos la fase inicial de la corriente como cero; si no es cero en el caso real, entonces dicho caso se reduce al nuestro cambiando el origen del tiempo o girando todo el diagrama vectorial por el ángulo de la fase inicial, lo que no cambia nada en el razonamiento posterior).

Suponemos (también de acuerdo con la condición del problema) que la frecuencia de la corriente (y por lo tanto el voltaje) está dada y es igual a ω .

El voltaje en cada uno de los elementos del circuito se calcula en función de su resistencia activa o reactiva, es decir, las amplitudes de voltaje correspondientes a las longitudes de los vectores por los cuales estos voltajes se representan en el diagrama son iguales a:

|U_{R}|=R|I|,\

|U_{C}|={\frac{1}{\omega C}}|I|,

|U_{L}|=\omega L|I|,\

además, el primero no está desfasado con respecto a la corriente, lo que significa que está representado en el diagrama por un vector codireccional con I , el segundo, debido a [12] la naturaleza capacitiva de su reactancia, se retrasa en fase por 90 °, lo que significa que está representado por un vector girado 90 ° en dirección negativa (en el sentido de las agujas del reloj), es decir, hacia abajo en la figura (ya que I es estrictamente horizontal en esta figura), y el tercero - debido a [13] la naturaleza inductiva de su reactancia - supera a la corriente en fase en 90 °, lo que significa que el diagrama muestra un vector girado 90 ° en la dirección positiva (en sentido contrario a las agujas del reloj) - en nuestra figura, esto resulta ser hacia arriba.

A continuación, sumamos U R ,U C ,U L de acuerdo con las reglas de la suma de vectores, es decir, como en la figura, construimos una cadena de vectores (línea discontinua), donde cada siguiente vector agregado se construye de modo que su comienzo coincide con el final de la anterior.

El vector suma resulta ser, como asumimos anteriormente,

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L},

sin embargo, ahora vemos este vector en el diagrama específicamente.

La longitud de este vector resulta ser la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados | U R | y || UL | -| U C || (la figura muestra el caso cuando | U L | > | U C |, pero esto no afectará los cálculos posteriores).

Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras,

|U_{RCL}|={\sqrt {U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2))},

y sustituyendo las longitudes de los vectores U R , U L , U C de las fórmulas escritas arriba, tenemos

|U_{RCL}|={\sqrt {(I_{0}R)^{2}+(I_{0}\omega L-{\frac {I_{0}}{\omega {C} }})^{2}}},

donde I 0 denota la amplitud de la corriente (igual a la longitud del vector I ); sacando I 0 de debajo de la raíz, tenemos:

|U_{RCL}|=I_{0}{\sqrt {R^{2}+(\omega L-{\frac {1}{\omega C)))^{2))},

es decir, una expresión analítica para la amplitud del voltaje a través del circuito.

En conclusión, notamos que ahora estas fórmulas también pueden usarse para resolver el problema inverso - calcular la corriente en el circuito a un voltaje dado - para esto, solo es necesario resolver elementalmente la primera ecuación para I 0 , expresándola en términos de los parámetros restantes.

Transformada de Fourier

Los diagramas vectoriales se pueden utilizar en relación con la serie de Fourier y la transformada de Fourier (desde un punto de vista físico, esto se interpreta principalmente como un estudio del espectro de frecuencia de ciertos procesos).

En algunos casos particulares, el uso de diagramas vectoriales hace posible obtener resultados exactos bastante no triviales en esta área por medios bastante elementales. El valor de tal aplicación en el contexto moderno, aparentemente, no es demasiado grande, ya que todos estos resultados pueden ser reproducidos por técnicas analíticas más estándar y generales ("sin el uso de dibujos"), sin embargo, aparentemente, el método de vector los diagramas pueden ser pedagógicamente útiles aquí. , así como para la divulgación y, tal vez, a veces para algunas aplicaciones de ingeniería.

Además, los diagramas vectoriales sin duda pueden ser útiles en esta área como ilustración, así como para una mejor comprensión cualitativa de los resultados formales y, probablemente, en ocasiones para obtener algún tipo de relaciones estimadas.

Adición de dos oscilaciones sinusoidales

Para los escolares, sin duda es útil considerar, desde el punto de vista de los diagramas vectoriales, la suma de dos señales sinusoidales que difieren ligeramente en frecuencia. A pesar de que el resultado se puede obtener mediante una simple aplicación de fórmulas trigonométricas, el método de los diagramas vectoriales es valioso porque permite obtener el resultado de una forma geométrica transparente que contribuye a una comprensión cualitativa del contenido matemático de este problema [14] .

En realidad, podemos decir que la consideración con la ayuda de diagramas vectoriales puede, entre otras cosas, ayudar a memorizar (o restaurar en la memoria) las fórmulas trigonométricas correspondientes.

Transformada de Fourier de una señal rectangular

Dado que las transformadas directa e inversa de Fourier son esencialmente simétricas, estamos hablando tanto de la imagen de Fourier (espectro) de una señal rectangular [15] como viceversa, de qué señal tiene un espectro "rectangular" [16] .

Teniendo en cuenta que la solución de todos los problemas indicados en el comentario introductorio es formalmente esencialmente la misma, centrémonos en esbozar la forma de resolver aquel que tiene un significado físico más transparente. A saber, en la tarea de determinar la forma de una señal (una forma explícita de una función del tiempo), que es la suma de la suma de sinusoides iguales en amplitud y equidistantes en frecuencia (y sea la fase inicial de cada una de estas sinusoides ser igual a cero).

Cada una de estas sinusoides está obviamente representada en un diagrama vectorial por un vector de la misma longitud. En el momento inicial de tiempo ( t =0) todos estos vectores son horizontales y están dirigidos a la derecha. En momentos de tiempo posteriores, el ángulo de rotación de cada vector depende linealmente de su número.

Por lo tanto, si sumamos los vectores en un orden natural, comenzando desde la frecuencia más baja hasta la más alta, la línea quebrada, que consiste en una cadena de vectores a sumar, en un momento arbitrario de tiempo será parte de un “polígono regular”. [17] , es decir, todos los comienzos y finales de los vectores se encuentran en un momento específico de tiempo en algún círculo (en el momento inicial, obviamente, esta línea quebrada degenera en un segmento de línea recta).

Notamos de inmediato que en el caso de un problema para un espectro continuo, dicha línea discontinua obviamente se convierte en un círculo. Si se desea, esta afirmación puede justificarse rigurosamente y todos los argumentos a favor del espectro discreto pueden reformularse en consecuencia para el espectro continuo.

El vector de suma, el vector dibujado desde el comienzo del primer vector de la cadena hasta el final del último, obviamente está dirigido en un ángulo con la horizontal, donde es el promedio de las frecuencias más bajas y más altas de nuestro espectro (que es decir, las frecuencias más alta y más baja). ${\ estilo de visualización \ omega _ {0} t}$ $\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$

La longitud de este vector también es fácil de calcular a partir de consideraciones geométricas elementales.

La diferencia cualitativa entre el caso de un espectro discreto y uno continuo es que con un espectro discreto, el número de enlaces de la línea quebrada es finito (y cada uno de sus segmentos también es finito), por lo tanto, después de un tiempo finito, un se alcanzará la posición cuando cada vector siguiente sea opuesto al anterior (la línea discontinua se "doblará" completamente hasta las dimensiones de un vector), y luego comenzará a "expandirse", hasta que, después del mismo tiempo, llega a la posición inicial, es decir, la amplitud de la suma será nuevamente máxima, como en el caso de t = 0, y la función misma será periódica [18] .
No es difícil calcular cuánto tiempo tardará "la envolvente de la señal en pasar por cero" [19] . (Obviamente, esto sucederá cuando la línea discontinua - o en el caso de un espectro continuo, una curva (arco circular) - formada por vectores que representan cada sinusoide, se cierre por primera vez. Este tiempo se puede utilizar como una característica cuantitativa del "ancho de la señal" (el ancho de su pico principal) de acuerdo con (Obviamente, la señal es una función par, es decir, simétrica con respecto a la inversión del tiempo, por lo que un punto similar en el eje del tiempo estará en el negativo semieje, simétricamente al primero).
Esta característica del ancho de la señal, en combinación con la característica obvia (debido a sus bordes afilados) del ancho del espectro, puede usarse para formular relaciones de incertidumbre ; esto puede ser útil en una presentación popular, ya que generalmente requiere medios matemáticos elementales, mientras que la esencia del problema se toca (aunque usando un ejemplo particular) con suficiente detalle.

Difracción

Al resolver el problema de la difracción de Fraunhofer [20] por una rendija, nos encontramos ante una cuestión similar a la planteada en el párrafo anterior: ¿cómo sumar las sinusoides que son iguales en amplitud y desfasadas la siguiente con respecto a la anterior? uno por la misma cantidad (solo en este párrafo, estos cambios de fase no son proporcionales al tiempo y, en el caso más simple, al seno del ángulo).

De manera similar al caso del párrafo anterior, cada sinusoide está representada por un vector, cuya cadena, al sumarse en forma de línea quebrada, resulta estar inscrita en un círculo, y en el límite continuo (a que es necesario ir aquí) es un arco de un círculo. El vector de suma, que cierra la línea discontinua, es entonces la cuerda de este arco, y su longitud se calcula a partir de consideraciones geométricas elementales.

Es bastante interesante que el método de diagramas vectoriales permite estudiar cualitativamente la transición del caso de Fraunhofer a un caso más general (cuando la pantalla de observación se acerca a la rendija). (Entonces, las longitudes de los vectores que se agregarán ya no son las mismas, pero se puede comprender cualitativamente cómo cambia la imagen, especialmente siempre que la distancia a la pantalla no haya disminuido demasiado).

En principio, el método de diagramas vectoriales es adecuado para encontrar soluciones a problemas de difracción y, en el caso general (para el que no existen métodos analíticos), por un método numérico, un método de construcción, o utilizando un dispositivo mecánico analógico, aunque en muchas de estas aplicaciones no es muy obvio cuán correcta es la aplicación del término "diagramas vectoriales" (en el sentido de delimitación de otros métodos convencionales - una representación compleja, etc.; aunque, por supuesto, en algunos casos esto es indudable correcto - digamos, en una construcción puramente gráfica).

Notas

↑ obtenido por la regla de un paralelogramo , un triángulo o (en el caso de la suma de muchos vectores) una polilínea.
↑ Sin embargo, se puede considerar conocido de forma independiente, ya que, de hecho, hasta ahora solo se ha considerado el movimiento bidimensional, que no es en sí mismo el tema del método de los diagramas vectoriales, sino que se utiliza en él. Por otro lado, ya hemos notado que casi todo el contenido del método de diagramas vectoriales dentro de esta sección se puede reformular en términos de una simple analogía con el movimiento bidimensional.
↑ Es decir, dependiendo del tiempo que quieras, en otras palabras, una función arbitraria f (t) . Por supuesto, la clase de funciones admisibles f(t) debe estar sujeta al requisito de razonabilidad física, por ejemplo, para considerarlas finitas o (ya que a veces es razonable ampliar aún más la clase de funciones admisibles) al menos integrables en Algún sentido.
↑ En principio, se pueden sugerir algunas formas de aplicarlo, pero son bastante artificiales y, en cualquier caso, no permiten simplemente obtener una respuesta directa de forma inmediata y natural, como se hizo para el problema discutido anteriormente.
↑ La formulación con números complejos no solo amplía las posibilidades de aplicación del método, sino que también es más compacta y, por lo tanto, hermosa. Sin embargo, para comprenderlo, debe dedicar algo de tiempo (en principio, no mucho) a familiarizarse con las operaciones elementales en números complejos. En esta formulación, los diagramas vectoriales se convierten en una ilustración geométrica del método y su notación algebraica se vuelve más simple, más corta y más estándar.
↑ La generalización de las reglas de Kirchhoff aquí se refiere a su uso en relación con circuitos que incluyen no solo resistencias, sino también reactancias (condensadores e inductores), y para elementos reactivos, en lugar de resistencias, se usan números complejos - impedancias . Puramente formalmente, en este caso, todo sigue igual que para los circuitos que incluyen solo resistencias; es solo que no todas las resistencias ahora son números reales .
↑ Desafortunadamente, en su forma pura, es decir, puramente geométrica, sin el uso explícito de números complejos, es aplicable (al menos convenientemente aplicable) no a todos los casos, e incluso se puede decir que en su forma habitual es aplicable solo a el caso de conexiones sucesivas o en paralelo de elementos de circuito, así como a circuitos en serie-paralelo (aunque en este último caso ya es notablemente menos conveniente).
↑ Algunos otros elementos también se pueden incluir en esta lista, por ejemplo, amplificadores en la región de su linealidad, y en la aproximación de señal pequeña, los elementos no lineales se pueden reemplazar aproximadamente por elementos lineales.
↑ Más simple: para capacitores e inductancias ideales. Parte de la imperfección se puede representar entonces mediante una conexión en serie o en paralelo a los elementos ideales de resistencias, condensadores e inductancias adicionales, que deben ser equivalentes a la resistencia activa parásita, la capacitancia parásita, la inductancia parásita de los elementos reales.
↑ Argumentamos bajo la suposición de que las capacitancias de los conductores en sí son insignificantes, y que una carga notable puede acumularse solo en las placas del capacitor (simétricamente), entonces la corriente es la misma en todas partes.
↑ Una variante de la formulación de tal problema puede ser una tarea en la condición de un voltaje sinusoidal en los extremos del circuito, y no la corriente en él. Sin embargo, partiendo de una corriente sinusoidal -como se indica en el texto principal- llegamos a una tensión sinusoidal, es decir, estas condiciones son consistentes y son necesarias y suficientes entre sí. Por tanto, en el texto principal, sin pérdida de generalidad, comenzamos la presentación con una corriente sinusoidal, que es más sencilla y clara.
↑ Justificación: consulte el artículo anterior.
↑ Justificación: véase también el artículo anterior.
↑ Sin mencionar el hecho de que te permite hablar de esto sin conocer las fórmulas trigonométricas mencionadas, es decir, por ejemplo, a una edad más temprana, si es necesario.
↑ En esta sección, entendemos una señal rectangular como un solo impulso de forma rectangular, es decir, una función que toma un valor constante distinto de cero en un segmento determinado y es igual a cero en todas partes fuera de este segmento.
↑ Además, este problema está estrechamente relacionado con el problema de encontrar una señal que tenga un espectro discreto de armónicos equidistantes de la misma intensidad, ocupando un intervalo finito en frecuencia, y en el límite, todas las frecuencias (una variante del ruido blanco ).
↑ Comillas porque el término polígono regular no se usa estrictamente aquí: significa que todos los segmentos de nuestra polilínea son iguales y los ángulos entre los adyacentes son iguales (como en un polígono regular real), pero en general este polígono, incluso si es continuo, no siempre cierra en un polígono regular (el ángulo entre los segmentos no siempre permite que los segmentos finales coincidan con los vértices); aunque, en algunos momentos (cuando el ángulo se vuelve apropiado), sí es parte de un polígono regular real en el sentido estricto habitual.
↑ La situación se complica un poco por el hecho de que en el momento en que el vector suma alcanza su longitud máxima, en general, puede estar dirigido no horizontalmente. Sin embargo, para la situación más típica, cuando la relación de la frecuencia más baja y la diferencia de frecuencia es un número racional, el resultado (proyección horizontal de la suma) sigue siendo una función periódica del tiempo y volverá a alcanzar un máximo después de un tiempo finito. . En el caso más general, cuando esta relación puede ser irracional, todavía estamos tratando con el hecho de que la función puede volver a acercarse a su máximo tanto como se desee (en contraste con el caso de un espectro continuo, la amplitud de oscilación disminuye bastante rápido, de modo que cualquiera próximo al máximo local es ciertamente menor que todos los anteriores).
↑ No intentaremos dar aquí una forma estricta a esta obvia formulación intuitiva.
↑ Podemos hablar no solo de óptica, sino también de acústica, etc.; en detalles, la solución del problema (y la respuesta) son algo diferentes (debido a la inclusión de polarización, etc.), pero en general, el método de solución descrito aquí es el mismo. (La respuesta también resulta ser muy similar, al menos cualitativamente).

Enlaces

Diagramas vectoriales de circuitos de CA monofásicos . Archivado el 3 de julio de 2014 en Wayback Machine .
Modelo interactivo: diagrama vectorial de la suma de dos valores que cambian según la ley armónica. Archivado el 20 de junio de 2017 en Wayback Machine .
Editor de diagramas vectoriales en línea Archivado el 24 de septiembre de 2020 en Wayback Machine .