Reglas de Kirchhoff

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Las reglas de Kirchhoff (a menudo llamadas Leyes de Kirchhoff en la literatura técnica ) son las relaciones que se mantienen entre las corrientes y los voltajes en las secciones de cualquier circuito eléctrico .

Las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales , compiladas sobre la base de las reglas de Kirchhoff, le permiten encontrar todas las corrientes y voltajes en circuitos eléctricos de corriente continua, alterna y casi estacionaria [1] .

Son de particular importancia en ingeniería eléctrica debido a su versatilidad, ya que son adecuados para resolver muchos problemas en la teoría de circuitos eléctricos y cálculos prácticos de circuitos eléctricos complejos.

La aplicación de las reglas de Kirchhoff a un circuito eléctrico lineal permite obtener un sistema de ecuaciones lineales para corrientes o tensiones y, en consecuencia, al resolver este sistema, encontrar los valores de las corrientes en todas las ramas del circuito y en todos los internodales. voltajes

Formulado por Gustav Kirchhoff en 1845 [2] .

El nombre "Reglas" es más correcto porque estas reglas no son leyes fundamentales de la naturaleza, sino que se derivan de las leyes fundamentales de conservación de carga e irrotación del campo electrostático ( tercera ecuación de Maxwell para un campo magnético constante). Estas reglas no deben confundirse con otras dos leyes de Kirchhoff en química y física .

La redacción de las reglas

Definiciones

Para formular las reglas de Kirchhoff se introducen los conceptos de nodo , rama y circuito de un circuito eléctrico . Una rama es una sección de un circuito eléctrico con la misma corriente, por ejemplo, en la Fig. el segmento marcado R 1 , I 1 es la rama. Un nodo es un punto de conexión de tres o más ramas (indicado por puntos en negrita en la figura). Un circuito es un camino cerrado que pasa a través de varias ramas y nodos de un extenso circuito eléctrico. El término camino cerrado significa que, partiendo de algún nodo de la cadena y pasando por varias ramas y nodos una vez , se puede volver al nodo original . Las ramas y los nodos atravesados durante un desvío de este tipo generalmente se denominan pertenecientes a este contorno. En este caso hay que tener en cuenta que una rama y un nodo pueden pertenecer a varios contornos a la vez.

En términos de estas definiciones, las reglas de Kirchhoff se formulan de la siguiente manera.

Primera regla

La primera regla de Kirchhoff (regla de corriente de Kirchhoff) establece que la suma algebraica de las corrientes de rama que convergen en cada nodo en cualquier circuito es cero. En este caso, la corriente dirigida al nodo se considera positiva y la corriente dirigida desde el nodo es negativa: la suma algebraica de las corrientes dirigidas al nodo es igual a la suma de las corrientes dirigidas desde el nodo.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

En otras palabras, cuánta corriente fluye hacia el nodo, sale de él. Esta regla se deriva de la ley fundamental de conservación de la carga .

Sin embargo, al calcular, se debe tener en cuenta que esta regla es aplicable solo en el caso de una capacidad de nodo insignificante. De lo contrario, se puede violar la primera regla, lo que es especialmente notable en corrientes de alta frecuencia.

Segunda regla

La segunda regla de Kirchhoff (regla de voltaje de Kirchhoff) establece que la suma algebraica de los voltajes en los elementos resistivos de un circuito cerrado es igual a la suma algebraica de la FEM incluida en este circuito. Si no hay fuentes EMF (generadores de voltaje idealizados) en el circuito, entonces la caída de voltaje total es cero:

para voltajes constantes

\sum_{{k=1}}^{n}E_{k}=\sum_{{k=1}}^{m}U_{k}=\sum_{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

para voltajes variables

\sum_{{k=1}}^{n}e_{k}=\sum_{{k=1}}^{m}u_{k}=\sum_{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\sum_{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\sum_{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Esta regla se deriva de la 3ª ecuación de Maxwell, en el caso particular de un campo magnético estacionario.

En otras palabras, cuando el circuito se pasa por alto por completo, el potencial, cambiando, vuelve a su valor original. Un caso especial de la segunda regla para un circuito que consta de un circuito es la ley de Ohm para este circuito. Al elaborar la ecuación de tensión para el bucle, debe elegir la dirección positiva para evitar el bucle. En este caso, la caída de voltaje en la rama se considera positiva si la dirección de derivación de esta rama coincide con la dirección de la corriente de la rama previamente seleccionada, y negativa, de lo contrario (ver más abajo).

Las reglas de Kirchhoff son válidas para circuitos linealizados lineales y no lineales para cualquier naturaleza del cambio en el tiempo de corrientes y voltajes.

Características de la elaboración de ecuaciones para el cálculo de corrientes y voltajes

Si el circuito contiene nodos, entonces se describe mediante las ecuaciones de corrientes. Esta regla también se puede aplicar a otros fenómenos físicos (por ejemplo, un sistema de tuberías de líquido o gas con bombas), donde se cumple la ley de conservación de las partículas del medio y el flujo de estas partículas. $pags$ $p-1$

Si el circuito contiene ramas, de las cuales las ramas contienen fuentes de corriente en la cantidad de , entonces se describe mediante las ecuaciones de voltaje. $metro$ $mi$ $m-m_{i}-(p-1)$

Las reglas de Kirchhoff, escritas para los nodos o circuitos de un circuito, brindan un sistema completo de ecuaciones lineales que le permite encontrar todas las corrientes y todos los voltajes. $p-1$ ${\ estilo de visualización m-(p-1)}$
Antes de escribir las ecuaciones, debe elegir arbitrariamente:
- direcciones positivas de las corrientes en las ramas y designarlas en el diagrama, aunque no es necesario asegurarse de que las direcciones de las corrientes en el nodo sean tanto entrantes como salientes, la solución final del sistema de ecuaciones aún dará los signos correctos de las corrientes de nodo;
- las direcciones positivas de eludir los contornos para compilar ecuaciones de acuerdo con la segunda ley, en aras de la uniformidad, se recomienda que las direcciones positivas de elusión se elijan iguales para todos los contornos (por ejemplo: en el sentido de las agujas del reloj).
Si la dirección de la corriente es la misma que la dirección de derivación del bucle (que se elige arbitrariamente), la caída de voltaje se considera positiva; de lo contrario, es negativa.
Al escribir ecuaciones linealmente independientes de acuerdo con la segunda regla de Kirchhoff, se esfuerzan por que cada nuevo contorno para el que se compone la ecuación incluya al menos una nueva rama que no esté incluida en los contornos anteriores para los que ya se han escrito ecuaciones de acuerdo con la segunda regla. ley ( condición suficiente pero no necesaria ).
En gráficos complejos no planos de circuitos eléctricos, es difícil para una persona ver circuitos y nodos independientes, cada circuito independiente (nodo), al compilar un sistema de ecuaciones, genera 1 ecuación lineal más en el sistema de ecuaciones lineales que define el problema. Contar el número de contornos independientes y su indicación explícita en un gráfico particular se desarrolla en la teoría de grafos .

Ejemplo

Número de nodos: 3.

$p-1=2$

Número de ramas (en circuitos cerrados): 4. Número de ramas que contienen una fuente de corriente: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Número de circuitos: 2.

Para el circuito que se muestra en la figura, de acuerdo con la primera regla, se cumplen las siguientes relaciones:

{\begin{casos}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{casos))

Tenga en cuenta que se debe elegir una dirección positiva para cada nodo, por ejemplo, aquí las corrientes que fluyen hacia un nodo se consideran positivas y las corrientes que salen negativas.

La solución del sistema lineal resultante de ecuaciones algebraicas le permite determinar todas las corrientes de los nodos y ramas, este enfoque para el análisis de circuitos se denomina comúnmente método de corrientes de bucle .

De acuerdo con la segunda regla, son válidas las siguientes relaciones:

{\begin{casos}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{casos))

Los sistemas de ecuaciones resultantes describen completamente el circuito analizado y sus soluciones determinan todas las corrientes y todos los voltajes de las ramas. Este enfoque del análisis de circuitos se conoce comúnmente como el método de los potenciales nodales .

Sobre la importancia para la ingeniería eléctrica

Las reglas de Kirchhoff son de carácter aplicado y permiten, junto con y en combinación con otros métodos y métodos ( el método del generador equivalente , el principio de superposición , el método de elaboración de un diagrama de potencial), resolver problemas de ingeniería eléctrica. Las reglas de Kirchhoff han encontrado una amplia aplicación debido a la simplicidad de la formulación de ecuaciones y la posibilidad de resolverlas utilizando métodos de álgebra lineal estándar (método de Cramer , método de Gauss , etc.).

Significado en matemáticas

La primera regla de Kirchhoff se puede formular en forma matricial. Es decir, deje que el circuito eléctrico consista en nodos. Hagamos una matriz , donde for es la conductividad de la rama que conecta los nodos con números y (si no están conectados, puedes conectarlos mentalmente con una rama de conductividad cero). Al mismo tiempo Sea un potencial, que consideramos como una función definida sobre el conjunto de nodos (o, lo que es lo mismo, un vector en el espacio -dimensional ). Entonces, por la definición de conductividad, tenemos , ¿dónde está la corriente en la rama que va de vértice a vértice ? Por lo tanto, la primera regla de Kirchhoff para el nodo -ésimo se puede escribir como , o , o, dada la definición de los elementos diagonales de la matriz, como . En el lado izquierdo de la igualdad, es fácil encontrar la coordenada del producto de la matriz y el vector columna . $norte$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $yo \ neq j$ $i$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\puntos,\varphi _{n})$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $i$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\varphi_{i}=0$ $A$ $\mathbf{u}$

Entonces, la primera regla de Kirchhoff en forma de matriz dice:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\Leftrightarrow A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

De esta forma, se puede generalizar a superficies conductoras. En una superficie curva, la conductividad no solo depende del punto, sino también de la dirección. En otras palabras, la conductividad es una función de los vectores tangentes a la superficie. Si asumimos que en espacios tangentes está bien aproximado por una forma cuadrática definida positiva, podemos hablar de ella como una métrica riemanniana (que difiere de la distancia en la superficie como una forma geométrica que tiene en cuenta la no isotropía de su eléctrica). propiedades). Cada punto de la superficie puede servir como nodo, y por tanto el potencial ya no será un vector, sino una función sobre la superficie. El análogo de la matriz de conductividades será el operador de Laplace-Beltrami de la métrica-conductividad, que actúa sobre el espacio de funciones suaves. La primera regla de Kirchhoff para una superficie dice exactamente lo mismo: . En otras palabras, el potencial es una función armónica . $gramo$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {g))$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {g} u = 0}$

En este sentido, la matriz asociada con un gráfico ponderado arbitrario , a excepción de la diagonal igual a la matriz de adyacencia , a veces se denomina laplaciana discreta . Los análogos de teoremas sobre funciones armónicas, como la existencia de una función armónica en un dominio con un límite para valores dados en el límite, obtenidos por convolución con algún núcleo, también tienen lugar para funciones armónicas discretas. A la inversa, una superficie conductora puede aproximarse mediante una rejilla de resistencias, y las funciones armónicas discretas en esta rejilla se aproximan a las funciones armónicas en la superficie correspondiente. En esta circunstancia se basa el integrador de Gershgorin , una computadora analógica utilizada para resolver la ecuación de Laplace en los años 30 - 70 del siglo XX. $A$

En el caso de una superficie conductora, en lugar de una diferencia de potencial, tiene sentido hablar de una forma 1 . El campo vectorial asociado con él con la ayuda de la métrica de conductividad es la corriente eléctrica en esta superficie. De acuerdo con la primera regla de Kirchhoff, esta forma 1 también es armónica (es decir, se encuentra en el núcleo del Hodge Laplacian definido en formas diferenciales). Esto da una pista de cómo formular correctamente la ley de Kirchhoff para el caso en que el campo no es potencial: es decir, la forma 1 obtenida de la corriente, considerada como un campo vectorial, por la conductividad, considerada como una métrica de Riemann, debe ser armónico. Conociendo la fuerza electromotriz alrededor de cada contorno topológicamente no trivial en la superficie, es posible restaurar la fuerza y la dirección de la corriente en cada punto, además, de una manera única. En particular, la dimensión del espacio de todas las corrientes posibles es igual a la dimensión del espacio de contornos topológicamente no triviales. Este hecho fue una de las razones del descubrimiento de la dualidad de Poincaré ; el hecho de que las fuerzas electromotrices determinen únicamente la corriente (forma 1 armónica) es un caso particular de la teoría de Hodge para formas 1 (la teoría de Hodge establece que en una variedad de Riemann, cada clase de cohomología de De Rham está representada por una forma armónica, y solo uno en eso). $du$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {grado} _ {g} (u)}$

Ley de radiación de Kirchhoff

La ley de radiación de Kirchhoff establece que la relación entre la emisividad de cualquier cuerpo y su capacidad de absorción es la misma para todos los cuerpos a una temperatura dada para una frecuencia dada para la radiación de equilibrio y no depende de su forma, composición química, etc.

Ley de Kirchhoff en química

La ley de Kirchhoff establece que el coeficiente de temperatura del efecto calorífico de una reacción química es igual al cambio en la capacidad calorífica del sistema durante la reacción.

Notas

↑ Reglas de Kirchhoff - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Literatura

Matveev A. N. Electricidad y magnetismo: un libro de texto. - M. : Escuela superior, 1983. - 463 p.
Kalashnikov S. G. Electricidad: un libro de texto. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 p.
Bessonov L. A. Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica. Circuitos electricos. — 11ª edición. — M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuznetsov E. V., Nikolaeva O. V. Ingeniería eléctrica y electrónica. Libro. 1. Circuitos eléctricos y magnéticos. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 p. — ISBN 5-283-05005-X .