La cantidad es un concepto matemático que describe objetos para los que se puede definir la relación de desigualdad y el significado de la operación de suma , y se satisfacen una serie de propiedades, incluidos los axiomas de Arquímedes y la continuidad . La cantidad es uno de los conceptos básicos de las matemáticas .
Inicialmente, se definió un escalar positivo con una relación de desigualdad y una operación de suma. Entre sus generalizaciones están los vectores y tensores , para los que no se puede definir la relación de desigualdad, cantidades "no arquimedianas", para las que no se cumple el axioma de Arquímedes. El sistema de números reales también se puede considerar como un sistema de cantidades.
Para cantidades escalares homogéneas se establece la relación de desigualdad y el significado de la operación de suma. Tienen las siguientes propiedades [1] :
Una cantidad es un concepto abstracto que expresa la categoría de cantidad . Un valor escalar se caracteriza por un número [2] .
Con el desarrollo de las matemáticas, el significado del concepto de magnitud fue sujeto a generalizaciones. El concepto se ha extendido a cantidades "no escalares", para las cuales se define la adición, pero no se define una relación de orden . Estos incluyen vectores y tensores. La siguiente extensión fue el rechazo del axioma de Arquímedes o su uso con algunas reservas (por ejemplo, la naturalidad del número n para cantidades escalares positivas). Tales cantidades se utilizan en la investigación matemática abstracta [1] .
Además, se utilizan valores fijos y variables. Al considerar variables, se acostumbra decir que en diferentes momentos toman diferentes valores numéricos [1] .
Euclides (siglo III a. C.) introdujo el concepto de valor escalar positivo , que era una generalización directa de conceptos tan específicos como longitud , área , volumen , masa [1] . En el quinto libro de " Principios " se formulan las principales propiedades de una cantidad (quizás pertenezca a la pluma de Eudoxo ), en el séptimo libro se consideran los números y se da la definición de la cantidad, en el décimo libro conmensurable y se consideran cantidades inconmensurables [3] . Los antiguos matemáticos griegos desarrollaron una teoría de la medición de cantidades basada en las primeras nueve propiedades de una cantidad (incluido el axioma de Arquímedes) [1] .
El género de una cantidad está relacionado con la forma en que se comparan los objetos. Por ejemplo, el concepto de longitud se deriva de la comparación de segmentos mediante superposición: los segmentos tienen la misma longitud si coinciden cuando se superponen, y la longitud de un segmento es menor que la longitud del otro si, al superponerse, el primer segmento no coincide. no cubre completamente el segundo. La comparación de figuras planas conduce al concepto de área, cuerpos espaciales - volumen [1] . Euclides ilustró sus consideraciones con operaciones con segmentos, pero al mismo tiempo considera las cantidades como conceptos abstractos. Su teoría se aplica a los ángulos y al tiempo [3] .
Los matemáticos griegos consideraban cantidades que podían medirse con una regla con longitud unitaria y un compás [3] . El sistema de todas las longitudes en una relación racional con la unidad de longitud satisface los requisitos 1 a 9, pero no cubre el sistema de todas las longitudes en general. El descubrimiento de la existencia de segmentos inconmensurables se atribuye a Pitágoras (siglo VI aC) [1] . Los matemáticos árabes consideraron cantidades más complejas, en particular, resolvieron ecuaciones cúbicas utilizando métodos geométricos [3] . Para una definición completa de un sistema de cantidades escalares positivas, se introdujo el axioma de continuidad. Como resultado, todos los valores del sistema se representan de forma única como a = α l , donde α es un número real positivo y l es una unidad de medida [1] .
La siguiente etapa fue la consideración de segmentos dirigidos en una línea recta y velocidades en direcciones opuestas. Si se agregan valores cero y negativos al sistema de cantidades escalares positivas, entonces la generalización resultante, llamada cantidad escalar, es la principal en mecánica y física. En esta generalización, es cualquier número real (positivo, negativo o igual a cero). Esta generalización recurre al concepto de número, pero lo mismo se puede lograr cambiando la formulación de propiedades [1] .
Descartes introdujo el concepto de variable [2] .
En el siglo XVII, los números reales estaban estrechamente asociados con el concepto de magnitud, y las matemáticas se consideraban la ciencia de las magnitudes [4] .