Interacción de cuarto grado

La interacción de cuarto grado (teoría phi-cuarta, teoría φ 4 ) es una sección de la teoría cuántica de campos , donde el campo escalar tiene una autoacción en la forma φ 4 . Otros tipos de interacciones de cuarto grado se pueden encontrar en la sección sobre interacciones de cuatro fermiones . El campo escalar libre clásico satisface la ecuación de Klein-Gordon . Si se denota el campo escalar , la interacción de cuarto grado suma la energía potencial del campo en la forma de la densidad lagrangiana . La constante de acoplamiento es adimensional en un espacio - tiempo de 4 dimensiones. $\varphi$ $\varphi$ ${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi^{4))$ $\lambda$

Este artículo utiliza la firma espacial de Minkowski . ${\ estilo de visualización (+,-,-,-)}$

Lagrangiano para un campo escalar real

La densidad del Lagrangiano para un campo escalar real con interacción de cuarto grado es

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\parcial ^{\mu }\varphi \parcial_{\mu }\varphi -m^{2} \varphi^{2}]-{\frac {\lambda}{4!}}\varphi^{4}.

Este Lagrangiano tiene la simetría de reflexión global Z 2 . ${\ estilo de visualización \ varphi \ to - \ varphi}$

Lagrangiano para un campo escalar complejo

El lagrangiano para un campo escalar complejo se puede justificar de la siguiente manera. Para dos campos escalares y el Lagrangiano tiene la forma $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

{\mathcal {L}}(\varphi_{1},\varphi_{2})={\frac {1}{2}}[\parcial_{\mu}\varphi_{1} \parcial ^{\mu}\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2))[\parcial_{\mu}\ varphi _{2}\parcial ^{\mu}\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\ varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},

que se puede escribir de forma más concisa introduciendo un campo escalar complejo definido como $\fi$

\phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),

\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).

Expresado en nuevas variables (de un campo escalar complejo), el lagrangiano anterior se convierte en

{\mathcal {L}}(\phi )=\parcial ^{\mu }\phi ^{*}\parcial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\ phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},

que es así equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales , como se puede ver al expandir el campo complejo en partes reales e imaginarias. ${\ estilo de visualización \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}}$ $\fi$

Con la participación de campos reales, se puede construir un modelo con simetría global SO(N) dado por el Lagrangiano $norte$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {4}}$

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\parcial ^{\mu }\varphi _ {a}\parcial_{\mu}\varphi_{a}-m^{2}\varphi_{a}\varphi_{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda ( \varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.

La descomposición del campo complejo en partes real e imaginaria muestra que es equivalente al modelo SO(2) de campos escalares reales.

En todos los modelos anteriores , la constante de acoplamiento debe ser positiva, ya que de lo contrario el potencial sería ilimitado desde abajo y no existiría un vacío estable. Además, la integral de trayectoria de Feynman , que se analiza más adelante, estaría mal definida. En 4 dimensiones, las teorías tienen un polo de Landau . Esto significa que sin el corte de alta energía, la renormalización haría que esta teoría fuera trivial . $\lambda$ $\phi^4$

La integral de trayectoria

También se puede obtener una expansión en los diagramas de Feynman a partir de la integral de trayectoria [1] . Los valores esperados de vacío ordenados en el tiempo de polinomios en φ, conocidos como funciones de Green de n partículas, se construyen integrando todos los campos posibles, normalizados por el valor esperado de vacío sin campos externos,

\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2 }\parcial ^{\mu }\phi \parcial _{\mu }\phi -{m^{2} \sobre 2}\phi ^{2}-{\lambda \sobre 4!}\phi ^{4 }\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _ {\mu}\phi -{m^{2} \sobre 2}\phi ^{2}-{\lambda \sobre 4!}\phi ^{4}\right)))}.

Todas estas funciones de Green se obtienen expandiendo el exponente en J ( x )φ( x ) en una función generadora

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\parcial ^{\mu }\phi \ parcial _ {\mu}\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z [0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1 } )\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .

La rotación de la mecha establece la transición a un tiempo imaginario. Luego, cambiar la firma a (++++) da la integral de la mecánica estadística de la teoría φ 4 sobre el espacio euclidiano de 4 dimensiones ,

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2} +{m^{2} \sobre 2}\phi ^{2}+{\lambda \sobre 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.

Esto generalmente se aplica a la dispersión de partículas con momentos fijos, en cuyo caso es útil usar la transformada de Fourier , chir da

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\ izquierda({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+ {\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi ) ^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3}) }\Correcto)}.

donde es la función delta de Dirac . $\delta(x)$

El truco estándar para calcular esta integral funcional es escribirla como un producto de factores exponenciales, esquemáticamente,

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod_{p}\left[e^{- (p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \ sobre (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \sobre (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \sobre (2\pi ) ^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}) {\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right ].

Los dos segundos factores exponenciales se pueden expandir en una serie de potencias y la combinatoria de esta expansión se puede representar gráficamente. La integral con λ = 0 se considera como el producto de un número infinito de integrales gaussianas elementales, y el resultado se puede expresar como la suma de los diagramas de Feynman calculados utilizando las siguientes reglas de Feynman:

Cada campo en la función de Green euclidiana de n puntos está representado por una línea exterior en el gráfico y está asociado con el momento p . ${\tilde {\phi ))(p)$
Cada vértice está representado por un factor -λ .
Para un orden dado λ k , todos los diagramas con n líneas externas yk vértices se construyen de tal manera que los impulsos que ingresan a cada vértice son iguales a cero. Cada línea interna está representada por el coeficiente 1/( q 2 + m 2 ), donde q es el momento que fluye a través de esta línea.
Cualquier impulso ilimitado se integra sobre todos los valores.
El resultado se divide por el factor de simetría, que es el número de formas de reorganizar las líneas y los vértices del gráfico sin cambiar su conectividad.
No incluya gráficos que contengan "burbujas de vacío", subgráficos conectados sin líneas externas.

La última regla tiene en cuenta el efecto de la división por . Las reglas de Feynman en el espacio de Minkowski son similares, excepto que cada vértice está representado por , y cada línea interior está representada por un factor i /( q 2 - m 2 + iε ), donde el término ε representa la ligera rotación de Wick necesaria para la Gaussiana Integral para converger en el espacio de Minkowski. ${\tilde {Z}}[0]$ ${\displaystyle-i\lambda}$

Renormalización

Las integrales sobre momentos ilimitados, llamadas "contribuciones de bucle", generalmente divergen en los diagramas de Feynman. Esto generalmente se elimina mediante la renormalización , que es un procedimiento para agregar contratérminos divergentes al Lagrangiano de modo que los diagramas construidos a partir del Lagrangiano original y los contratérminos sean finitos [2] . En este caso, es necesario introducir una escala de renormalización, de la cual la constante de acoplamiento y la masa se vuelven dependientes. Es esta dependencia la que conduce al polo de Landau mencionado anteriormente y requiere que el corte conduzca a integrales finitas. Alternativamente, si el corte puede llegar al infinito, el polo de Landau solo puede evitarse si la restricción renormalizada tiende a cero, lo que hace que la teoría sea trivial [3] .

Ruptura espontánea de simetría

Puede surgir una característica interesante si m 2 se vuelve negativo, pero λ sigue siendo positivo. En este caso, el vacío consta de dos estados con la energía más baja, cada uno de los cuales rompe espontáneamente la simetría global Z 2 de la teoría original. Esto conduce a estados colectivos interesantes como los muros de dominio . En una teoría O (2) , el vacío se asentaría en un círculo, y elegir uno rompería espontáneamente la simetría O (2). La simetría rota continua da como resultado una nueva partícula de bosón de Goldstone . Este tipo de ruptura de simetría espontánea es un componente esencial del mecanismo de Higgs [4] .

Ruptura espontánea de simetrías discretas

El sistema relativista más simple en el que se observa una ruptura de simetría espontánea es un sistema con un campo escalar con el Lagrangiano $\varphi$

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\parcial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{ 2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\parcial \varphi )^{2}- V(\varphi ),

donde y ${\ estilo de visualización \ mu ^ {2}> 0}$

V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{ cuatro}.

Minimizar el potencial sobre una variable conduce a $\varphi$

V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2)){\lambda } }.

Ahora ampliaremos el campo alrededor de este mínimo escribiendo

{\ estilo de visualización \ varphi (x) = v + \ sigma (x),}

y reemplazando en el lagrangiano obtenemos

{\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}}_{\text{constante sin importancia}}+\underbrace { {\frac {1}{2}}[(\parcial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]}_{\text{ campo escalar masivo))+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4))\sigma ^{4})}_{\text{auto-interacciones)) .

donde el escalar ahora tiene un término de masa positivo . $\sigma$

Pensar en términos de valores medios de vacío nos permite comprender qué sucede con la simetría cuando se rompe espontáneamente. El Lagrangiano original era invariante bajo simetría . DE $Z_{2}$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ flecha derecha - \ varphi}$

{\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2)){\lambda ))))

ambos mínimos, deben existir dos vacíos diferentes: con la participación ${\ estilo de visualización | \ Omega _ {\ pm} \ rangle}$

\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.

Dado que simetría significa , esto también debería aplicarse a . Los dos vacíos posibles para la teoría son equivalentes, pero se debe elegir uno. Aunque la simetría parece haber desaparecido en el nuevo Lagrangiano, todavía está allí, pero ahora actúa como si Esta es una característica común de las simetrías que se rompen espontáneamente: el vacío las rompe, pero en el Lagrangiano en realidad no están rotas, sino simplemente ocultas y ocultas. a menudo realizado sólo de una manera no lineal [5 ] . $Z_{2}$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ flecha derecha - \ varphi}$ $|\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle$ $Z_{2}$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ flecha derecha - \ sigma -2v.}$

Soluciones exactas

Hay muchas soluciones clásicas exactas de la ecuación de movimiento de la teoría, escritas en la forma

\parcial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0

lo que se puede escribir para sin masa, caso como [6] ${\ estilo de visualización \ mu _ {0} = 0}$

\varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\ theta ,-1),

donde es la función elíptica de Jacobi y son las constantes de integración, teniendo en cuenta la siguiente relación de dispersión ${\displaystyle\,{\rm {sn\!}}}$ ${\ estilo de visualización \, \ mu, \ theta}$

p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.

Curiosamente, comenzamos con una ecuación sin masa, pero la solución exacta describe una onda con una ley de dispersión correspondiente a la solución para un campo masivo. Cuando el término de masa no es igual a cero, resulta

\varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu_{0}^{2}+{\sqrt {\mu_{0}^{ 4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{ 2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4)))){-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _ {0}^{4}+2\lambda\mu ^{4}}}}}}\derecha)

ahora la relación de dispersión

p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4)){\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\ mu _{0}^{4}+2\lambda\mu^{4}}}}}.

Finalmente, para el caso de ruptura de simetría

\varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn))(p\cdot x+\theta ,i),

existencia y se cumple la siguiente relación de dispersión $v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}$

p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.

Estas soluciones ondulatorias son interesantes porque, a pesar de que comenzamos con la ecuación de masa con el signo equivocado, la relación de dispersión tiene el signo correcto. Además, la función de Jacobi no tiene ceros reales, por lo que el campo nunca es cero, sino que se mueve alrededor de un valor constante dado, que inicialmente se elige para describir la ruptura espontánea de la simetría. ${\ estilo de visualización \, {\ rm {dn}} \!}$

La prueba de unicidad se puede obtener si tenemos en cuenta que la solución se puede buscar en la forma , donde . Luego, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria que define la función elíptica de Jacobi al satisfacer la relación de dispersión correcta. ${\ estilo de visualización \ varphi = \ varphi (\ xi)}$ ${\ estilo de visualización \ xi = p \ c punto x}$ $pags$

Notas

↑ Ramón, Pierre. Teoría de campo: una cartilla moderna (segunda edición). — EE. UU.: Westview Press, 2001-12-21. — ISBN 0-201-30450-3 . .
↑ Véase la referencia anterior, o para más detalles, Itzykson, Zuber. Teoría cuántica de campos / Zuber Itzykson, Jean-Bernard Zuber. —Dover, 2006-02-24. .
↑ DJE Callaway (1988). “Búsqueda de trivialidades: ¿Pueden existir partículas escalares elementales?”. Informes de física . 167 (5): 241-320. Código Bib : 1988PhR...167..241C . DOI : 10.1016/0370-1573(88)90008-7 .
↑ Se puede encontrar una descripción básica de la ruptura espontánea de la simetría en las dos referencias anteriores, o en la mayoría de los otros libros de teoría cuántica de campos.
↑ Schwartz, Teoría cuántica de campos y el modelo estándar, Capítulo 28.1
↑ Marco Frasca (2011). "Soluciones exactas de ecuaciones de campo escalares clásicas". Revista de Física Matemática No Lineal . 18 (2): 291-297. arXiv : 0907.4053 . Código Bib : 2011JNMP...18..291F . DOI : 10.1142/S1402925111001441 .

Literatura

't Hooft, G. , "La base conceptual de la teoría cuántica de campos" ( versión en línea ).
Bazghandi, Mustafa (agosto de 2019). “Simetrías de mentira y soluciones de similitud de la ecuación phi-cuatro”. Revista india de matemáticas . 61 (2): 187-197.