Teorema de extensión de la medida de Carathéodory

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En la teoría de la medida , el teorema de Carathéodory establece que una medida aditiva numerable arbitraria en algún anillo de subconjuntos de un conjunto puede extenderse a un anillo σ generado por el anillo . En el caso de σ-finitud de la medida, tal extensión es única. En particular, la existencia y unicidad de la medida de Borel y la medida de Lebesgue se derivan del teorema . $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mathcal{R}$

Declaración

Sea el anillo de subconjuntos del conjunto con medida , y sea el anillo σ generado por . El teorema de Carathéodory establece que existe una medida que es una extensión de la medida , es decir, . Además, si la medida es σ-finita, entonces tal extensión es única y también σ-finita. $\mathcal{R}$ $\Omega$ $\mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]$ ${\ estilo de visualización \ sigma ({\ matemáticas {R}})}$ $\mathcal{R}$ $\mu ':\sigma ({\mathcal {R)))\to [0,+\infty]$ $\mu$ $\mu '|_{\mathcal {R}}=\mu$ $\mu$ ${\ estilo de visualización \ mu'}$

Medio anillo

De manera más general, tal extensión existe para una medida definida en un semiring , es decir, una familia de subconjuntos que satisfacen las siguientes condiciones: $S$

$\varnada \en S$ ;
para cualquier intersección ; ${\ estilo de visualización A, B \ en S}$ $A\cap B\in S$
para any hay tales conjuntos disjuntos por pares , where , what . ${\ estilo de visualización A, B \ en S}$ $K_{i}\en S$ $i=1,2,\ldots,n$ $A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i))$

Sin embargo, este caso se puede reducir fácilmente al anterior, ya que cada semicírculo genera un anillo cuyos elementos son todos posibles uniones finitas disjuntas de conjuntos de : $S$ ${\ estilo de visualización R (S)}$ $S$

{\displaystyle R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i)),A_{i}\en S\))

y la medida dada en el semiring se extiende a todo el ring: $\mu$

{\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i)))))

, donde , .

A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i))

A_{i}\en S

Construyendo una continuación

Sea una medida definida sobre el anillo de subconjuntos del conjunto . Entonces en los subconjuntos se puede definir la función $\mu$ $\mathcal{R}$ $\Omega$ $A\subconjunto \Omega$

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty}\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R)),\,A\subconjunto \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.

Esta función es la medida externa generada por la medida . Denotemos la familia de subconjuntos del conjunto tal que para todos . $\mu$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ $A$ $\Omega$ $E\subconjunto \Omega$ $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$

Entonces es un anillo σ, y es posible definir una medida en él para todo . La función así definida es una medida que coincide con los conjuntos del anillo . También contiene un σ-álgebra y una restricción a los elementos y será una extensión necesaria de la medida. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\overline {\mu}}(A)=\mu^{*}(A)$ $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ $\mu$ $\mathcal{R}$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\ estilo de visualización \ sigma ({\ matemáticas {R}})}$ ${\overline {\mu ))$ ${\ estilo de visualización \ sigma ({\ matemáticas {R}})}$

El anillo σ es una terminación del anillo , respectivamente, coinciden si se completa una determinada medida. ${\mathcal {M}}_{\mu }$ ${\ estilo de visualización \ sigma ({\ matemáticas {R}})}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ({\ matemáticas {R}})}$

Ejemplos

Si en la línea real tomamos un semiring de intervalos , donde y la medida es igual a , entonces la construcción presentada da la definición de la medida de Borel en conjuntos de Borel . El conjunto aquí corresponde al conjunto de conjuntos medibles de Lebesgue. $\mathcal{S}$ $[a,b]$ $a<b$ $[a,b]$ $licenciado en Letras$ $\sigma ({\mathcal {S}})$ ${\mathcal {M}}_{\mu }$
La condición de finitud σ es necesaria para la unicidad de la continuación. Por ejemplo, sobre el conjunto de todos los números racionales en el intervalo , se puede definir un semicírculo de intervalos con extremos racionales , donde son números racionales del intervalo . El anillo σ generado por este semianillo es el conjunto de todos los subconjuntos de . Ahora , igualando , al número de elementos , y , tenemos que ambas medidas coinciden en el semiring y el anillo generado (dado que todos los conjuntos no vacíos del semiring y el ring son infinitos, entonces ambas medidas son iguales en todos estos sets ), pero no coinciden en el anillo σ generado. Es decir, en este caso, la continuación no es única. $X$ $[0,1]$ $[a, b)$ $a<b$ $[0,1]$ $X$ ${\ estilo de visualización \ mu (A)}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mu '(A) = 2 \ mu (A)}$ $\infty$

Literatura

Khalmosh P. R. Teoría de la medida. M.: Izd-vo inostr. iluminado, 1953
Dorogovtsev A. Ya. Elementos de la teoría general de la medida y la integral. Kyiv, 1989