Interior

El interior de un conjunto es un concepto en topología general , que denota la unión de todos los subconjuntos abiertos de un conjunto dado. Los puntos interiores se llaman puntos interiores .

Definición

Sea dado un espacio topológico donde es un conjunto arbitrario , y en él está definida la topología . Sea también dado un subconjunto . $(X,{\mathcal {T}}),$ $X$ $\mathcal{T}$ $A\subconjunto X$

A continuación, se considera la apertura de los subconjuntos como subconjuntos de todo (por ejemplo, necesariamente abiertos como un subconjunto de sí mismo, pero no necesariamente abiertos en todo el espacio topológico), mientras que no se indica explícitamente, y la apertura se denota como pertenencia a él. . $B\subconjunto A$ $X$ $A$ $X$ $\mathcal{T}$

Entonces el interior de un conjunto se puede definir de varias formas equivalentes: $A$

El interior es la unión de todos los subconjuntos abiertos : $B\subconjunto A$ $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T)),\;B\subconjunto A}B$ .
El interior es el subconjunto abierto más grande por inclusión : $A$ $(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T)))\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;(( B\in {\mathcal {T)))\cuña (B\subconjunto A)\Rightarrow (B\subconjunto \operatorname {int} (A)))$ .

El interior es el conjunto de todos los puntos interiores , donde un punto se llama interior si y sólo si existe un conjunto abierto tal que : $x \ en A$ $B\subconjunto A$ $x\en B$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T))\right\))$ .

La equivalencia de definiciones se sigue del hecho de que la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.

Propiedades

La operación interior es una operación unaria sobre la familia de todos los subconjuntos . $X$
El interior es un conjunto abierto . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {int} (A)}$
Un conjunto es abierto si y solo si coincide con su interior: $A$ $(A\in {\mathcal {T))\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .
- En otras palabras, en un conjunto abierto todos los puntos son internos, y cualquier conjunto cuyos puntos sean todos internos es abierto.
La operación interior es idempotente : $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$ .
La operación interior conserva el orden parcial de los subconjuntos por inclusión: $(A\subconjunto B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subconjunto \operatorname {int} (B)\right)$ .
En un espacio métrico , la definición de un punto interior toma la siguiente forma. Sea un espacio métrico con métrica y sea su subconjunto. Un punto es interno a si y sólo si existe tal que . En otras palabras, entra junto con una bola de radio con centro en . $X$ $d$ $METRO$ $x\en M$ $METRO$ $\varepsilon >0$ $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ $X$ $METRO$ $\varepsilon$ $X$

Ejemplos

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {int} (\ conjunto vacío) = \ conjunto vacío.}$
Si es un subconjunto finito del espacio euclidiano con la topología estándar , entonces . $A\subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {int} (A) = \ conjunto vacío}$
Si es una línea real con la topología estándar, y , entonces $X={\matemáticas {R}}$ $[a,b]\subconjunto {\mathbb {R}}$ $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
Si es un espacio discreto , entonces para cualquiera tenemos . $X$ $A\subconjunto X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {int} (A) = A}$