Tiempo de caída libre

El tiempo de caída libre es el tiempo característico que tarda un cuerpo en colapsar bajo la influencia de la gravedad , si ninguna otra fuerza se opone al colapso. Desempeña un papel importante en la determinación de las escalas de tiempo de una serie de procesos astrofísicos , como la formación de estrellas , las explosiones de supernovas .

Derivación de fórmulas

Caer sobre una fuente puntual de gravedad

Es fácil derivar una fórmula para el tiempo de caída libre aplicando la tercera ley de Kepler al movimiento de un objeto en una órbita elíptica degenerada . Considere un punto de masa a una distancia de una fuente puntual de masa , en la que el punto cae a lo largo del radio. La fórmula de la tercera ley de Kepler depende del semieje mayor y es independiente de la excentricidad . La trayectoria radial es un ejemplo de elipse degenerada con excentricidad 1 y semieje mayor igual a . Por tanto, el tiempo que tarda el cuerpo en caer, girar y volver a su posición original es igual al periodo de revolución en una órbita circular de radio : $metro$ $R$ $METRO$ $metro$ ${\ estilo de visualización R/2}$ ${\ estilo de visualización R/2}$

t_{\text{órbita}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^ {3/2}={\frac{\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)))}.

Para explicar por qué el semieje mayor es , examinamos las propiedades de las órbitas a medida que aumenta la elipticidad. La primera ley de Kepler establece que la órbita de un planeta es una elipse con un foco ubicado en el centro de masa. En el caso de que una masa muy pequeña caiga sobre una masa muy grande, el centro de masa del sistema se encuentra dentro del cuerpo de masa . Con el aumento de la elipticidad, el foco de la elipse se aleja cada vez más del centro del sistema. En el caso límite de una elipse degenerada con una excentricidad igual a uno, la órbita se convierte en un segmento desde el punto de ubicación inicial del objeto ( ) hasta el punto de ubicación de la masa . En otras palabras, la elipse se convierte en un segmento de longitud . El semieje mayor es la mitad de la longitud de la elipse a lo largo del eje mayor; en este caso, el semieje mayor es . ${\ estilo de visualización R/2}$ $METRO$ $METRO$ $R$ $METRO$ $R$ ${\ estilo de visualización R/2}$

Si el cuerpo que cae hiciera una órbita completa, entonces el movimiento comenzaría a una distancia del cuerpo , luego el cuerpo caería hacia el cuerpo , lo rodearía y volvería a su posición original. En los sistemas reales, una fuente puntual no es un punto y el cuerpo que cae experimentará una colisión con la superficie. En consecuencia, el cuerpo que cae hará sólo media revolución en su órbita. Dado que la parte de la órbita correspondiente a la caída es simétrica a la parte de la órbita a lo largo de la cual se produce el hipotético retorno al punto de partida, entonces para obtener el tiempo de caída libre se requiere dividir el período de revolución a lo largo de la totalidad órbita por la mitad: $R$ $METRO$ $METRO$ $METRO$ $metro$

t_{\text{ff}}=t_{\text{órbita}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt { 2G(M+m)}}}

Nótese que en la fórmula, es el tiempo de caída de la masa a lo largo de una órbita con una gran excentricidad, dentro del cual se da una vuelta rápida alrededor del centro de atracción casi a distancia cero de éste, y luego vuelve a su posición inicial a una distancia , donde se produce de nuevo un giro rápido. Tal órbita corresponde a un movimiento casi rectilíneo desde un punto a una distancia del centro de atracción hasta la ubicación del centro de atracción. Como se indicó anteriormente, el semieje mayor de la órbita es igual a la mitad del radio de la órbita circular correspondiente a la distancia . El período de la órbita corresponde al paso de un camino igual al doble del valor de . Entonces, según la tercera ley de Kepler, teniendo en cuenta que el semieje mayor es la mitad del radio de una órbita circular, resulta que el periodo de revolución en una órbita alargada es (1/2) 3/2 = (1 /8) 1/2 del período de revolución en una órbita circular, donde el radio de la órbita circular es igual a la longitud del radio vector máximo de la órbita alargada. $t_{\text{órbita}}$ $R$ $R$ $R$ $R$

Cayendo en una distribución de masa esféricamente simétrica

Considere el caso cuando no es un punto, sino un cuerpo extendido esféricamente simétrico con una densidad promedio , $METRO$ $\rho$

{\ estilo de visualización \ rho = {\ frac {3M} {4 \ pi R ^ {3}}}}

donde el volumen de la esfera es ${\ estilo de visualización {(4/3) \ pi R^ {3)).}$

Suponga que la única fuerza que actúa es la gravedad. Entonces, como lo demostró Newton y puede obtenerse aplicando la fórmula de Ostrogradsky-Gauss , la aceleración en un punto a una distancia del centro de la masa atrayente depende únicamente de la masa total contenida dentro de la esfera de radio . La consecuencia es el siguiente hecho: si un cuerpo con una distribución de masa esféricamente simétrica se rompe en capas esféricas, durante el colapso de las capas caerán de tal manera que cada una de las siguientes no cruzará las anteriores al moverse. Además, el tiempo de caída de un punto de masa cero desde la distancia se puede expresar en términos de la masa total dentro de un caparazón de radio : [1] $R$ $R$ $R$ $R$

t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\ simeq 66430{\frac {1}{\sqrt {\rho ))}\,{\rm {\text{s))},

en la última fórmula, las cantidades se expresan en el sistema SI .

Notas

↑ Estructura estelar y evolución Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3ª ed. p.257 ISBN 3-540-58013-1

Dinámica galáctica Binney, James; Tremaine, Scott. Prensa de la Universidad de Princeton, 1987.