Leyes de kepler

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Las leyes de Kepler son tres relaciones empíricas establecidas por Johannes Kepler sobre la base de observaciones astronómicas a largo plazo realizadas por Tycho Brahe [1] . Expuesto por Kepler en artículos publicados entre 1609 [2] y 1619 [3] años. Describe la órbita heliocéntrica idealizada del planeta.

Las relaciones de Kepler permitieron a Newton postular la ley de la gravitación universal , que se convirtió en fundamental en la mecánica clásica. En su marco, las leyes de Kepler son una solución al problema de los dos cuerpos en el caso de una masa despreciablemente pequeña del planeta, es decir, en el límite de transición , donde , son las masas del planeta y la estrella, respectivamente. $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ $m_{p}$ $milisegundo}$

Formulaciones

Primera ley de Kepler (la ley de las elipses)

Cada planeta del sistema solar se mueve en una elipse con el sol en uno de sus focos .

La forma de la elipse y el grado de su similitud con un círculo se caracteriza por la relación , donde es la distancia desde el centro de la elipse a su foco (distancia focal), es el semieje mayor . La cantidad se llama la excentricidad de la elipse. Cuando , y, por lo tanto, la elipse se convierte en un círculo. $e=\frac{c}{a}$ $C$ ${a}$ $mi$ $c=0$ ${\ estilo de visualización e = 0,}$

Segunda ley de Kepler (ley de las áreas)

Cada planeta se mueve en un plano que pasa por el centro del Sol y, durante períodos de tiempo iguales, el radio vector que conecta el Sol y el planeta describe áreas iguales.

En relación con nuestro sistema solar, dos conceptos están asociados con esta ley: perihelio , el punto de la órbita más cercano al Sol, y afelio , el punto más distante de la órbita. Así, de la segunda ley de Kepler se deduce que el planeta se mueve alrededor del Sol de manera desigual, teniendo una velocidad lineal mayor en el perihelio que en el afelio.

Todos los años, a principios de enero, la Tierra se mueve más rápido a medida que pasa por el perihelio, por lo que el movimiento aparente del Sol hacia el este a lo largo de la eclíptica también es más rápido que el promedio anual. A principios de julio, la Tierra, al pasar por el afelio, se mueve más lentamente, por lo tanto, el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica se ralentiza. La ley de áreas también indica que la fuerza que controla el movimiento orbital de los planetas está dirigida hacia el Sol.

Tercera ley de Kepler (ley armónica)

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol están relacionados como los cubos de los semiejes mayores de las órbitas de los planetas.

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

donde y son los periodos de revolución de los dos planetas alrededor del Sol, y y son las longitudes de los semiejes mayores de sus órbitas. La afirmación también es válida para los satélites. $T_{1}$ $T_{2}$ $un_{1}$ $un_{2}$

Newton descubrió que la atracción gravitacional de un planeta de cierta masa depende solo de su distancia, y no de otras propiedades como la composición o la temperatura. También demostró que la tercera ley de Kepler no es del todo exacta; de hecho, también incluye la masa del planeta:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

donde es la masa del Sol y y son las masas de los planetas. $METRO$ $m_1$ $m_2$

Dado que el movimiento y la masa están relacionados, esta combinación de la ley armónica de Kepler y la ley de la gravedad de Newton se utiliza para determinar las masas de los planetas y satélites si se conocen sus órbitas y períodos orbitales.

Derivación de las leyes de Kepler a partir de las leyes de la mecánica clásica

Derivación de la Primera Ley de Kepler

Considere el movimiento en coordenadas polares , cuyo centro coincide con el centro de masa del sistema (aproximadamente, coincide con el Sol). $(r,\theta)$

Sea el radio vector al planeta, denotemos el vector unitario indicando su dirección. De manera similar, introducimos — un vector unitario, perpendicular a , dirigido en la dirección del ángulo polar creciente . Escribimos las derivadas temporales, denotándolas con puntos: ${\ estilo de visualización \ mathbf {r}}$ ${\sombrero {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\displaystyle {\sombrero {\boldsymbol {\theta ))))$ $\mathbf{r}$ $\ theta$

{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \ theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

La ley de gravitación universal de Newton establece que "todo objeto en el universo atrae a todos los demás objetos a lo largo de una línea que conecta los centros de masa de los objetos, proporcional a la masa de cada objeto e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos". Así que la aceleración se ve como:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

O en forma de coordenadas:

{\begin{casos}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{casos}}

En la segunda ecuación, escribimos y : ${\ddot {\theta))$ $\ punto-r$

r { re \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Deshaciéndonos del tiempo y separando las variables, obtenemos:

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

cuya integración dará:

{\ estilo de visualización \ ln {\ punto {\ theta)) = -2 \ ln r + C,}

Asumiendo y simplificando los logaritmos, finalmente tenemos $C=\ln\ell$

r^{2}{\dot {\theta }}=\ell

El significado de la constante es el momento angular específico ( ). Hemos demostrado que en el campo de las fuerzas centrales se conserva. $\ana$ $\ell=\mathbf{r}\veces \mathbf{v}$

Para trabajar con la primera ecuación, es conveniente hacer la sustitución:

r = \frac{1}{u},

Y reescribe las derivadas, deshaciéndote simultáneamente del tiempo.

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta {dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta)),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u {dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

La ecuación del movimiento en la dirección se escribirá entonces: $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

La ley de gravitación universal de Newton relaciona la fuerza por unidad de masa con la distancia como

f \left( {1 \sobre u} \right) = f(r)= - \, { GM \sobre r^2 } = - GM u^2

donde es la constante gravitacional universal y es la masa de la estrella. $GRAMO$ $METRO$

Como resultado:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Esta ecuación diferencial se puede reescribir en derivadas totales:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

Deshaciéndonos de lo que obtenemos:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

Y finalmente:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

Dividiendo las variables y realizando integración elemental, obtenemos la solución general:

u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

para las constantes de integración y en función de las condiciones iniciales. $mi$ $\ theta _ {0}$

Reemplazando por 1/ e introduciendo , finalmente tenemos: $tu$ $r$ $p={\frac {\ell^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Hemos obtenido la ecuación de una sección cónica con un parámetro y una excentricidad y el origen del sistema de coordenadas en uno de los focos. Por lo tanto, la primera ley de Kepler se deriva directamente de la ley de gravitación universal de Newton y de la segunda ley de Newton. $pags$ $mi$

Derivación de la Segunda Ley de Kepler

Por definición , el momento angular de un cuerpo puntual con masa y velocidad se escribe como: $\mathbf{L}$ $metro$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

donde es el radio vector del cuerpo, y es su cantidad de movimiento. El área barrida por el radio vector durante el tiempo por consideraciones geométricas es igual a $\mathbf{r}$ $\mathbf{p} = metro \mathbf{v}$ $\mathbf{r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ fracción {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

donde es el ángulo entre los vectores y . $\fi$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{v}$

Al derivar la primera ley, se demostró que . Lo mismo se puede obtener por simple diferenciación del momento angular: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

La última transición se explica por la igualdad a cero del producto vectorial de vectores colineales. De hecho, aquí la fuerza siempre se dirige a lo largo del vector radio, mientras que el impulso se dirige a lo largo de la velocidad, por definición.

Tenemos que no depende del tiempo. Esto significa que es constante y, por lo tanto, la velocidad de barrido del área proporcional a ella es constante. $\matemáticas L$ $|\matemáticas{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Derivación de la Tercera Ley de Kepler

La segunda ley de Kepler establece que el radio vector de un cuerpo en circulación barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Si ahora tomamos períodos de tiempo muy pequeños en el momento en que el planeta está en los puntos ( perihelio ) y ( afelio ), entonces podemos aproximar el área con triángulos con alturas iguales a la distancia del planeta al Sol, y un base igual al producto de la velocidad del planeta y el tiempo. $PAGS$ $A$

{\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}\cdot (1-\varepsilon)a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}\cdot (1+\varepsilon)a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon)\cdot V_{A}=(1+\varepsilon)\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}

Usando la ley de conservación de la energía para la energía total del planeta en los puntos y , escribimos $A$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )))\right)

\frac{\left (V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon)^{2}-(1-\varepsilon)^{2}}{(1-\varepsilon)^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon}{a\cdot (1-\varepsilon)(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon)^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon)(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon)}{a\cdot (1+\varepsilon)}}}.

Ahora que hemos encontrado , podemos encontrar la velocidad del sector. Como es constante, podemos elegir cualquier punto de la elipse: por ejemplo, para el punto B obtenemos $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matriz}\frac{1} {2}\end{matriz} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}\cdot (1+\varepsilon)a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Sin embargo, el área total de la elipse es (que es igual a porque ). El tiempo para una revolución completa es, pues, $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matriz}{\frac {1}{2}}\end{matriz}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Tenga en cuenta que si la masa no es despreciable en comparación con , entonces el planeta girará alrededor del Sol a la misma velocidad y en la misma órbita que un punto material que gira alrededor de la masa (ver masa reducida ). En este caso, la masa en la última fórmula debe ser reemplazada por : $metro$ $METRO$ $m+m$ $METRO$ $m+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Cálculo alternativo Consideremos el planeta como un punto de masa que gira en una órbita elíptica en dos posiciones:

metro

perihelio con radio vector , velocidad ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
afelio con radio vector , velocidad . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Escribamos la ley de conservación del momento angular

mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}

y la ley de la conservación de la energía

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac{GmM}{r_{2))))

donde M es la masa del Sol.

Resolviendo el sistema, es fácil obtener la relación de la velocidad del planeta en el punto del "perihelio":

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

Expresamos la velocidad del sector (que, según la segunda ley de Kepler, es un valor constante):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Calculemos el área de la elipse a lo largo de la cual se mueve el planeta. Un lado:

S_{elipse}=\pi ab

donde es la longitud del semieje mayor, es la longitud del semieje menor de la órbita. $a$ $b$

Por otro lado, aprovechando que para calcular el área de un sector se puede multiplicar la velocidad del sector por el periodo de rotación:

S_{elipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)){2(r_{1}+r_{2)))) ) }

Como consecuencia,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

Para transformaciones posteriores, usamos las propiedades geométricas de la elipse. tenemos relaciones

c^{2}=a^{2}-b^{2}

r_{1}+r_{2}=2a

r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}

Sustituye en la fórmula del área de una elipse:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

De donde finalmente obtenemos:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

o de la manera tradicional

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.

Notas

↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3er libro en rústica. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - P. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Archivado el 12 de diciembre de 2021 en Wayback Machine .
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observeibus GV Tychnonis. Praga 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [La armonía del mundo] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), libro 5, capítulo 3, p. 189.

Véase también

Literatura

Leyes de Kepler // Diccionario enciclopédico de un joven astrónomo / comp. N. P. Erpylev . - 2ª ed. - M. : Pedagogía, 1986. - S. 121 -122. — 336 pág.
Smorodinsky Ya. A. Los planetas se mueven en elipses // Kvant . - 1979. - Nº 12 . - S. 13-19 .
Trefil, J. Leyes de Kepler : [ arch. 28 de marzo de 2016 ] // Elementos. - Del libro. Trefil J. La naturaleza de la ciencia. 200 leyes del universo. (Geleos, 2007.) = La Naturaleza de la Ciencia. (2003) = James Trefil. Leyes de la naturaleza de Cassel: una A–Z de leyes y principios que rigen el funcionamiento de nuestro universo. (2002).

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