Segunda forma cuadrática

La segunda forma cuadrática (o la segunda forma fundamental ) de una superficie es una forma cuadrática en el paquete tangente de la superficie que, en contraste con la primera forma cuadrática , define la geometría exterior de la superficie en la vecindad de un punto dado. .

La segunda forma cuadrática se denota a menudo , y sus componentes se denotan tradicionalmente , y . $\mathrm{yo\!yo}$ $L$ $METRO$ $norte$

El conocimiento de las formas cuadráticas primera y segunda es suficiente para calcular las curvaturas principales , curvaturas medias y gaussianas de una superficie.

Definición

Deje que la superficie en el espacio euclidiano tridimensional con producto escalar esté dada por la ecuación donde y son coordenadas internas en la superficie; es la diferencial del radio vector a lo largo de la dirección elegida de desplazamiento desde un punto hasta un punto infinitamente cercano ; es el vector normal a la superficie en el punto . Entonces la segunda forma cuadrática tiene la forma $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $tu$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $METRO$ $METRO'$ $norte$ $METRO$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

donde los coeficientes están determinados por las fórmulas:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\raíz cuadrada {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\raíz cuadrada {EG-F^{2}}}},

donde denota el producto mixto de vectores y son los coeficientes de la primera forma cuadrática de la superficie. ${\ estilo de visualización (\ cdot, \ cdot, \ cdot)}$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Definiciones relacionadas

El operador de forma u operador de Weingarten es un operador lineal en el plano tangente definido como $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

donde es el campo de las normales unitarias a la superficie. El operador de forma está relacionado con la segunda forma cuadrática por la siguiente relación:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Los valores propios del operador de forma se denominan curvaturas principales de la superficie en el punto, y las direcciones propias del operador de forma se denominan direcciones principales de la superficie en el punto.
- Las curvas sobre una superficie que corren en direcciones principales se llaman líneas de curvatura .

La curvatura normal en la dirección se calcula mediante la fórmula ${\ Displaystyle k_ {V}}$ $V$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

donde es la primera forma cuadrática .

\mathrm {I}

La dirección con curvatura normal cero se llama asintótica , y la curva en la superficie que va en la dirección asintótica se llama curva asintótica .

Cálculo

Gráfico de funciones

En un caso particular, cuando la superficie es una gráfica de una función en el espacio euclidiano tridimensional con coeficientes , los coeficientes de la segunda forma cuadrática toman la forma: $z=f(x,y)$ $x, y, z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Variaciones y generalizaciones

Hipersuperficies

Considere una hipersuperficie en un espacio euclidiano m -dimensional con producto interno . Sea un mapa local de la superficie en el punto . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $PAGS$

Luego, los coeficientes de la segunda forma cuadrática se calculan mediante la fórmula

q_{ij}={\biggl \langle {n},{\frac {\parcial ^{2}{r)){\parcial u^{i}\parcial u^{j))}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots,m-1,

donde denota el vector unitario normal. $norte$

Gran codimensión

La segunda forma fundamental también se define para subvariedades de codimensión arbitraria. [una]

\mathrm {yo\!yo} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot},

donde denota la proyección de la derivada covariante sobre el espacio normal. ${\ estilo de visualización (\ nabla _ {v} w) ^ {\ bot})$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {v} w}$

En este caso, la segunda forma fundamental es una forma bilineal en el espacio tangente con valores en el espacio normal.

Para subvariedades del espacio euclidiano, el tensor de curvatura de la subvariedad se puede calcular utilizando la llamada fórmula de Gauss:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Para subvariedades de una variedad de Riemann, se debe agregar la curvatura del espacio ambiental; si la variedad está incrustada en una variedad de Riemann , entonces el tensor de curvatura de la variedad equipada con la métrica inducida viene dado por la segunda forma fundamental y el tensor de curvatura de la variedad ambiental : $norte$ $(M, g)$ $R_{N}$ $norte$ ${\ Displaystyle R_ {M}}$ $METRO$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Véase también

Notas

↑ do. 128 en M. do Carmo, Geometría de Riemann , Birkhäuser, 1992

Literatura

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Curso de geometría diferencial y topología. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A. V. Chernavski . Conferencias sobre geometría diferencial clásica (2 cursos)