Curva asintótica

Una curva asintótica (línea asintótica) es una curva sobre una superficie regular lisa en el espacio euclidiano tangente a la dirección asintótica de la superficie en cada punto , es decir la dirección en la que la sección normal de la superficie tiene curvatura cero . Dado que no existen secciones normales con curvatura cero en todos los puntos de la superficie, las líneas asintóticas, en términos generales, no llenan toda la superficie. La curva asintótica está definida por la ecuación diferencial $\gamma=\gamma(t)$ $F$ $F$

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,

donde es la segunda forma fundamental de la superficie . $\mathrm{yo\!yo}$ $F$

Tres tipos de puntos de superficie

Los puntos en los que la curvatura gaussiana se denominan hiperbólicos (un ejemplo de una superficie que consta completamente de puntos hiperbólicos es un hiperboloide de una hoja o un paraboloide hiperbólico); los puntos en los que la curvatura gaussiana se denominan elípticas (un ejemplo de una superficie que consta enteramente de puntos elípticos es un elipsoide o un hiperboloide de dos láminas); los puntos en los que la curvatura gaussiana pero la curvatura media se denominan parabólicos (un ejemplo de una superficie que consta completamente de puntos parabólicos es un cilindro). Los puntos parabólicos, por regla general, forman una curva que divide la superficie en regiones elípticas e hiperbólicas. $k<0$ $k>0$ $K=0$ $K \neq 0$

No hay líneas asintóticas en la región de los puntos elípticos. En el área de los puntos hiperbólicos, hay exactamente dos familias de líneas asintóticas que componen la llamada red asintótica : una línea de cada familia pasa por cada punto hiperbólico, se cruzan en un ángulo distinto de cero. En los puntos parabólicos, las líneas asintóticas tienen, por regla general, una singularidad de tipo cúspide y son parábolas semicúbicas que se encuentran (con la excepción de la propia cúspide) en la región hiperbólica adyacente a la línea parabólica.

Propiedades

El plano tangente de la curva asintótica (si existe) coincide con el plano tangente a en el mismo punto. $\gama$ $F$
( Teorema de Beltrami-Enneper ) El cuadrado de la torsión de una curva asintótica (donde está definida) es igual al módulo de la curvatura gaussiana de la superficie . $F$
Un segmento de línea recta sobre una superficie es siempre una curva asintótica. En particular, los generadores rectilíneos de la superficie son curvas asintóticas. $F$
En superficies de curvatura negativa constante, la red asintótica es una red de Chebyshev , y el área del cuadrilátero formado por las curvas asintóticas es proporcional al exceso de la suma de sus ángulos interiores sobre (fórmula de Haczidakis). $2\pi$
En una superficie mínima, la red asintótica es una red ortogonal .
Bajo una transformación espacial proyectiva , las curvas asintóticas de la superficie pasan a las curvas asintóticas de la superficie transformada . $\Pi$ $F$ $\pi(F)$

La ecuación para la gráfica de una función

Deje que la superficie en el espacio euclidiano con coordenadas y métrica se dé como un gráfico de la función . Entonces, en coordenadas, las líneas asintóticas de la superficie están dadas por la ecuación diferencial, introduciendo la notación , se puede reescribir en la forma El discriminante del trinomio cuadrado del lado izquierdo (con respecto a la variable ) coincide con el hessiano de la función tomada con el signo opuesto, y la ecuación define una curva en el plano que consta de puntos parabólicos de la superficie (siempre que uno de los coeficientes o sea diferente de cero), que es también la curva discriminante de la ecuación diferencial dada , que no se resuelve con respecto a la derivada. En un caso típico, casi en todos los puntos parabólicos, esta ecuación tiene la forma normal de Cibrario , las únicas excepciones son los puntos que se encuentran discretamente en la curva discriminante, en los que la forma normal de la ecuación es más complicada. La ecuación de las líneas asintóticas tiene una forma normal aún más compleja en los puntos donde los tres coeficientes , , desaparecen simultáneamente, estos son los llamados umbilicales planos , en los que , es decir, todas las secciones normales de la superficie tienen curvatura cero. $x, y, z$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $z=f(x,y)$ $x, y$ $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ $p=dy/dx$ $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ $pags$ $f(x,y)$ $\Delta=0$ $(x,y)$ $f_{{xx}}$ $f_ {aa}$ $f_{{xx}}$ $f_{xy}$ $f_ {aa}$ $H=K=0$

Ejemplos

Todos los puntos de un hiperboloide de una hoja son del tipo hiperbólico. La ecuación de líneas asintóticas en este caso toma la forma , donde . Es fácil comprobar que la solución general de esta ecuación viene dada por la fórmula , donde los parámetros y están sujetos a la relación . Así, obtenemos dos familias (correspondientes a signos diferentes en la fórmula ) de líneas asintóticas del hiperboloide de una hoja, coincidentes con las familias de sus generadores rectilíneos. $x^2+y^2-z^2=1$ $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ $p=dy/dx$ $y=ax+b$ $a$ $b$ $b^2-a^2=1$ $\pm$ $b = \pm \raíz cuadrada{a^2+1}$

Las líneas asintóticas del cono también coinciden con sus generadores rectilíneos. Dado que todos los puntos del cono son parabólicos, tenemos exactamente una familia de líneas asintóticas. $x^2+y^2-z^2=0$

En el caso de la superficie dada por la ecuación , tenemos . La línea de puntos parabólicos ( ) divide la superficie en regiones elípticas ( ) e hiperbólicas ( ). Este último contiene dos familias de líneas asintóticas. En todos los puntos parabólicos, excepto en el origen ( ), la ecuación de las rectas asintóticas tiene la forma normal de Cibrario, por lo que las rectas asintóticas en la vecindad de estos puntos tienen forma de parábolas semicúbicas. En el origen, la red de líneas asintóticas tiene una singularidad más compleja, cuya naturaleza depende del parámetro , véase el artículo . $z=y^2 + x^2y + ax^4$ $\Delta = (1-6a)x^2 - y$ $y=(1-6a)x^2$ $y>(1-6a)x^2$ $y<(1-6a)x^2$ $x=y=0$ $a$

Curvas asintóticas sobre un toro dadas paramétricamente en la forma: $\left\{ \begin{matriz} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matriz} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

son dos paralelos que separan regiones hiperbólicas y elípticas y que consisten enteramente en puntos parabólicos, y un número infinito de curvas de una forma especial que oscila entre estos dos paralelos. $z=\pmr$

La curva asintótica es el borde de la cúspide de la pseudoesfera .

Literatura

Rashevsky P. K. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Curso de geometría diferencial, - Cualquier edición.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Cualquier edición.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Curso de geometría diferencial y topología, - Cualquier edición.
Toponogov VA Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .