Altura del polinomio

La altura y la longitud de un polinomio P con coeficientes complejos son cantidades que indican el "tamaño" del polinomio.

Además, estos términos se utilizan en relación con los propios números algebraicos : la altura y la longitud de un número algebraico son la altura y la longitud de su polinomio mínimo .

Definición

Para un polinomio P de grado n dado por la fórmula

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

la altura H ( P ) es el valor máximo (módulo) de sus coeficientes:

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,

y la longitud L ( P ) es la suma de los valores absolutos de los coeficientes:

L(P)=\sum_{i=0}^{n}|a_{i}|.\,

Conexión con la medida de Mahler

La medida de Mahler M ( P ) de un polinomio P es también una medida del tamaño de un polinomio P. Las tres funciones H ( P ), L ( P ) y M ( P ) están relacionadas por las desigualdades

{\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1));

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq nH(p)

donde es el coeficiente binomial . $\scriptstyle {\binom {n}{\lpiso n/2\rpiso))$

Notas

Literatura

Pedro Borwein. . - Springer-Verlag , 2002. - S. 2,3,142,148. - (Libros CMS en Matemáticas). — ISBN 0-387-95444-9 .
K. Mahler. Sobre dos propiedades extremas de polinomios // Illinois J. Math .. - 1963. - T. 7 . — S. 681–701 .
Andrzej Schinzel . Polinomios con especial atención a la reducibilidad. - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - S. 212. - (Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones). — ISBN 0-521-66225-7 .

Enlaces

Altura del polinomio en Mathworld