Función diferenciable

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Una función diferenciable (en un punto)  es una función que tiene un diferencial (en un punto dado). Una función diferenciable en algún conjunto es una función diferenciable en todos los puntos del conjunto dado. La diferenciabilidad es uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas y tiene un importante número de aplicaciones tanto en las propias matemáticas como en otras ciencias naturales.

El incremento de una función derivable en un punto dado se puede representar como una función lineal del incremento del argumento hasta valores de un orden de pequeñez superior. Esto significa que para vecindades suficientemente pequeñas de un punto dado, la función se puede reemplazar por una lineal (la tasa de cambio de la función se puede considerar sin cambios). La parte lineal del incremento de una función se llama su diferencial (en un punto dado).

Una condición necesaria pero no suficiente para la derivabilidad es la continuidad de la función . En el caso de una función de una variable real, la derivabilidad equivale a la existencia de una derivada . En el caso de una función de varias variables reales, una condición necesaria (pero no suficiente) para la diferenciabilidad es la existencia de derivadas parciales con respecto a todas las variables. Para que una función de varias variables sea diferenciable en un punto, es suficiente que las derivadas parciales existan en alguna vecindad del punto en consideración y sean continuas en el punto dado. [una]

En el caso de una función de variable compleja, la diferenciabilidad en un punto suele denominarse monogeneidad y difiere significativamente del concepto de diferenciabilidad en el caso real. El papel clave en esto lo juega la llamada condición de Cauchy-Riemann . Una función que es monogénica en la vecindad de un punto se llama holomorfa en ese punto. [2] [3]

En análisis funcional , hay una generalización del concepto de diferenciación al caso de aplicaciones de espacios de dimensión infinita  , derivados de Gateau y Fréchet .

Una generalización del concepto de función diferenciable es el concepto de funciones subdiferenciables , superdiferenciables y cuasidiferenciables .

Funciones de una sola variable

Una función de una variable es derivable en un punto de su dominio si existe una constante tal que

mientras que el número es inevitablemente igual a la derivada

Una función de una variable es diferenciable en un punto si y solo si tiene una derivada finita en ese punto.

La gráfica de una función es una curva en un plano , mientras que la gráfica de una función lineal

entrega una tangente a esta curva dibujada en el punto .

Por ejemplo, una función es definida y diferenciable en cualquier punto real, ya que se puede representar como

.

A su vez, su derivada es , y la ecuación de la recta tangente trazada en el punto tiene la forma: .

Las funciones elementales pueden ser continuas en algún punto, pero no derivables en él. Por ejemplo, una función es continua en todo el eje real, pero su derivada experimenta un salto al pasar por un punto en el que esta función no es diferenciable. En este punto, también es imposible dibujar una tangente a la gráfica de la función. La función también es continua en todo el eje real y su gráfica tiene tangentes en todos los puntos, sin embargo, la tangente dibujada en el punto es una línea vertical y por lo tanto la derivada de la función es infinitamente grande en el punto y la función misma es no diferenciable en este punto.

Los gráficos de funciones elementales enseñan que una función arbitraria es derivable en todas partes excepto en valores excepcionales y aislados del argumento. El primer intento de demostración analítica de esta afirmación se debe a Ampère [4] , por lo que se denomina conjetura de Ampère. Esta afirmación, sin embargo, no es cierta en la clase de funciones representables analíticamente, por ejemplo, la función de Dirichlet ni siquiera es continua en ningún punto [5] . También es imposible considerar diferenciable una función continua arbitraria, por ejemplo, la función de Weierstrass está definida y es continua en todo el eje real, pero no es diferenciable en ninguno de sus puntos [6] . En particular, esto significa que es imposible dibujar una línea tangente a su gráfico en cualquier punto. Sin embargo, la conjetura de Ampere puede considerarse como una formulación no estricta del siguiente teorema de Lebesgue : cualquier función monótona tiene una determinada derivada finita en todas partes, excepto, quizás, para algún conjunto de valores de medida cero. [7]

Funciones de varias variables

Una función de variables es diferenciable en un punto de su dominio si existen constantes tales que para cualquier punto

donde _

En esta entrada, la función

es la diferencial de la función en el punto , y los números son las derivadas parciales de la función en el punto , es decir

donde  es un vector, todos sus componentes, excepto el -ésimo, son iguales a cero, y el componente -ésimo es igual a 1.

Toda función que es derivable en un punto tiene todas las derivadas parciales en ese punto, pero no todas las funciones que tienen todas las derivadas parciales son derivables. Además, la existencia de derivadas parciales en algún punto ni siquiera garantiza la continuidad de la función en ese punto. Como tal ejemplo, podemos considerar una función de dos variables iguales a for y for . En el origen existen ambas derivadas parciales (igual a cero), pero la función no es continua.

Esta circunstancia podría convertirse en un serio obstáculo para todo el cálculo diferencial de funciones de varias variables, si no quedara claro que la continuidad de las derivadas parciales en un punto es suficiente para que la función sea diferenciable en ese punto. [una]

Ejemplos de tipos de puntos donde la función no es diferenciable

La función será indiferenciable en el punto , por ejemplo, en los siguientes casos:

Sin embargo, estos casos no agotan todas las situaciones en las que la función no es diferenciable. Entonces, por ejemplo, la función no pertenece a ninguno de estos casos, pero no es diferenciable en cero.

Muestra

Se dice que una aplicación es diferenciable en un punto de su dominio de definición si existe una aplicación lineal dependiendo del punto tal que

es decir, expandiendo el carácter "o" pequeño si

.

El mapeo lineal es el diferencial del mapeo en un punto .

Si el mapeo está dado por un conjunto de funciones

entonces su diferenciabilidad en un punto es equivalente a la diferenciabilidad de todas las funciones en un punto dado, y la matriz de su diferencial  es la matriz de Jacobi compuesta por las derivadas parciales de estas funciones en el punto .

Véase también

Notas

  1. 1 2 Zorich V. A., Análisis matemático - Cualquier edición, volumen 1 capítulo VIII.
  2. Bitsadze A. V. Fundamentos de la teoría de funciones analíticas de una variable compleja - M., Nauka, 1969.
  3. Shabat B.V., Introducción al análisis complejo - M., Nauka, 1969.
  4. Ampère, AM // École Politechnique, 6 (1806), fasc. 13
  5. Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. ed. 2. Milán, 1909. P. 1-3.
  6. Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlín, 1895. Abh. 6.
  7. Figura. F., S.-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. M.: Mir, 1979. S. 15.

Enlaces