Vibraciones armónicas

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Las oscilaciones armónicas son oscilaciones en las que una cantidad física cambia con el tiempo de acuerdo con una ley armónica ( sinusoidal , coseno).

Descripción matemática

La ecuación de oscilación armónica tiene la forma

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

dónde

x - desviación del valor oscilante en el momento actual t del valor promedio para el período (por ejemplo, en cinemática - desplazamiento, desviación del punto oscilante de la posición de equilibrio);
A es la amplitud de oscilación, es decir la desviación máxima del valor fluctuante del valor medio del período, la dimensión A coincide con la dimensión x ;
ω ( radianes / s , grados / s) - frecuencia cíclica, que muestra cuántos radianes (grados) cambia la fase de oscilación en 1 s;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radianes, grados) - fase completa de la oscilación (abreviado como fase, no debe confundirse con la fase inicial);
$\varphi_{0}$ (radianes, grados) es la fase inicial de la oscilación, que determina el valor de la fase total de la oscilación (y el valor x mismo ) en el momento t = 0.

La ecuación diferencial que describe las oscilaciones armónicas tiene la forma

{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega^{2}x=0.

Cualquier solución no trivial [1] de esta ecuación diferencial es una oscilación armónica con una frecuencia cíclica $\ omega .$

Ejemplos

Con un movimiento uniforme de un punto a lo largo de un círculo, una oscilación armónica hace una proyección (ortogonal) de este punto sobre cualquier línea recta que se encuentre en el mismo plano [2] . Las oscilaciones cercanas a las armónicas se producen bajo la acción de la gravedad mediante un pequeño peso suspendido de un hilo largo y delgado, un péndulo matemático , con amplitudes pequeñas [3] . Las vibraciones armónicas bajo la acción de la fuerza elástica son realizadas por un peso fijado entre dos resortes sobre una guía horizontal [4] . Los armónicos son las vibraciones torsionales de un peso suspendido verticalmente que gira hacia arriba bajo la acción de una fuerza elástica, las mismas vibraciones son realizadas por la barra de equilibrio de un reloj mecánico [5] .

En general, un punto material realiza oscilaciones armónicas si se producen como consecuencia del impacto sobre el punto de una fuerza proporcional al desplazamiento del punto oscilante de la posición de equilibrio y en dirección opuesta a este desplazamiento.

Hay ejemplos de oscilaciones armónicas no solo en mecánica; por ejemplo, en un circuito LC sin pérdidas disipativas, los cambios en la carga de la capacitancia , el voltaje y la corriente en el circuito ocurren con el tiempo de acuerdo con una ley armónica.

Tipos de vibraciones

Las oscilaciones libres se realizan bajo la acción de las fuerzas internas del sistema después de que el sistema ha sido sacado del equilibrio. Para que las oscilaciones libres sean armónicas, es necesario que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito por ecuaciones de movimiento lineales) y que no haya disipación de energía en él (con disipación distinta de cero, se producen oscilaciones amortiguadas en el sistema después de la excitación).
Las oscilaciones forzadas se realizan bajo la influencia de una fuerza periódica externa. Para que las oscilaciones forzadas sean armónicas, es suficiente que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito por ecuaciones lineales de movimiento) y que la fuerza externa (impacto) cambie con el tiempo como una oscilación armónica (es decir, que la dependencia del tiempo de esta fuerza , a su vez, ser sinusoidal ).

Aplicación

Las vibraciones armónicas se destacan de todos los demás tipos de vibraciones por las siguientes razones:

Muy a menudo [6] las pequeñas oscilaciones, tanto libres como forzadas , que se producen en los sistemas reales, pueden considerarse como oscilaciones armónicas o muy parecidas.
Como estableció Fourier en 1822 , una amplia clase de funciones periódicas se pueden expandir en una suma de componentes trigonométricos, en una serie de Fourier . En otras palabras, cualquier oscilación periódica se puede representar como una suma de oscilaciones armónicas con amplitudes, frecuencias y fases iniciales correspondientes. Entre los términos de esta suma, hay una oscilación armónica con la frecuencia más baja, que se llama frecuencia fundamental, y esta oscilación en sí es el primer armónico o tono fundamental, mientras que las frecuencias de todos los demás términos, oscilaciones armónicas, son múltiplos de la frecuencia fundamental, y estas oscilaciones se denominan armónicos o armónicos superiores : el primero, el segundo, etc. [7]
Para una amplia clase de sistemas, la respuesta a un efecto armónico es una oscilación armónica (propiedad de linealidad), mientras que la relación entre el efecto y la respuesta es una característica estable del sistema. Teniendo en cuenta la propiedad anterior, esto nos permite estudiar el paso de oscilaciones de forma arbitraria a través de los sistemas.

Véase también

Notas

↑ Es decir, no idénticamente igual a cero.
↑ Landsberg, 2003 , pág. 17
↑ Landsberg, 2003 , pág. 2.25.
↑ Landsberg, 2003 , pág. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , pág. 29-30.
↑ La condición implícita aquí es que las propiedades del sistema deben ser constantes en el tiempo (lo que en realidad suele ser cierto, al menos aproximadamente).
↑ Landsberg, 2003 , pág. 43.

Literatura

Libro de texto elemental de física / Ed. G. S. Landsberg . - 13ª ed. - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Oscilaciones y ondas. Óptica. Física atómica y nuclear.
Khaikin S. E. Fundamentos físicos de la mecánica. - M. , 1963.
A. M. Afonin. Fundamentos físicos de la mecánica. - Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
Gorelik G.S. Oscilaciones y ondas. Introducción a la acústica, la radiofísica y la óptica. - M. : Fizmatlit, 1959. - 572 p.